Question

12．已知函數(shù)f（x）=ax³+bx在x=2處取得極值為-16
（1）求a，b的值；
（2）若f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求得函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，由題意可得f（2）=-16，且f′（2）=0，解a，b的方程組，即可得到a，b的值；
（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=ax³+bx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3ax²+b，
由于f（x） 在x=2處取得極值為-16
故有f（2）=-16，且f′（2）=0
即12a+b=0且8a+2b=-16，
解得a=1，b=-12；
（2）由（1）知  f（x）=x³-12x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²-12，
令f′（x0=0，得x₁=-2，x₂=2，
當(dāng)f′（x）＞0，即x＜-2或x＞2時，函數(shù)f（x）為增函數(shù)；
當(dāng)f′（x）＜0，即-2＜x＜2時，函數(shù)f（x）為減函數(shù)．
則f（x）的增區(qū)間為（-∞，-2），（2，+∞），減區(qū)間為（-2，2）．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和極值，考查方程思想和運算能力，屬于基礎(chǔ)題．