Question

3．如圖，在幾何體A₁B₁D₁-ABCD中，四邊形A₁B₁BA與A₁D₁DA均為直角梯形，且AA₁⊥底面ABCD，四邊形ABCD為正方形，AB=2A₁D₁=2A₁B₁=4，AA₁=4，P為DD₁的中點．
（Ⅰ）求證：AB₁⊥PC；
（Ⅱ）求幾何體A₁B₁D₁-ABCD的表面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明AB₁⊥PC．
（Ⅱ）幾何體A₁B₁D₁-ABCD的表面積：$S={S}_{梯形AB{B}_{1}{A}_{1}}$+${S}_{梯形樣AD{D}_{1}{A}_{1}}$+${S}_{△BC{B}_{1}}+{S}_{△{B}_{1}{D}_{1}C}+{S}_{△CD{D}_{1}}+{S}_{正方形ABCD}$+${S}_{△{A}_{1}{B}_{1}{D}_{1}}$．

解答 證明：（Ⅰ）∵幾何體A₁B₁D₁-ABCD中，四邊形A₁B₁BA與A₁D₁DA均為直角梯形，
且AA₁⊥底面ABCD，四邊形ABCD為正方形，
∴以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標系，
∵AB=2A₁D₁=2A₁B₁=4，AA₁=4，P為DD₁的中點．
∴A（0，0，0），B₁（2，0，4），
C（4，4，0），D（0，4，0），D₁（0，2，4），P（0，3，2），
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（2，0，4），$\overrightarrow{PC}$=（4，1，-2），
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$•$\overrightarrow{PC}$=8+0-8=0，
∴AB₁⊥PC．
解：（Ⅱ）$\overrightarrow{DC}$=（4，0，0），$\overrightarrow{DP}$=（0，-1，2），|$\overrightarrow{DP}$|=$\sqrt{5}$，DC⊥DP，
|$\overrightarrow{C{B}_{1}}$|=|$\overrightarrow{C{D}_{1}}$|=$\sqrt{4+16+16}$=6，|$\overrightarrow{D{D}_{1}}$|=$\sqrt{4+16}$=2$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow{{B}_{1}{D}_{1}}$|=$\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$，
C到直線DD₁的距離d=|$\overrightarrow{DC}$|•${\sqrt{1-[cos＜\overrightarrow{DC}，\overrightarrow{DP}＞]}}^{2}$=4
幾何體A₁B₁D₁-ABCD的表面積：
$S={S}_{梯形AB{B}_{1}{A}_{1}}$+${S}_{梯形樣AD{D}_{1}{A}_{1}}$+${S}_{△BC{B}_{1}}+{S}_{△{B}_{1}{D}_{1}C}+{S}_{△CD{D}_{1}}+{S}_{正方形ABCD}$+${S}_{△{A}_{1}{B}_{1}{D}_{1}}$
=$\frac{2+4}{2}×4+\frac{2+4}{2}×4$+$\frac{1}{2}×4×\sqrt{4+16}$+$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{36-2}$+$\frac{1}{2}×4×\sqrt{5}$+$\frac{1}{2}×2×2+4×4$
=42+6$\sqrt{5}$+2$\sqrt{17}$．

點評 本題考查線線垂直的證明，考查幾何體的表面積的求法，考查數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力以及應(yīng)用意識，考查數(shù)形結(jié)合思想等，是中檔題．