Question

8．（1）曲線C：$\frac{x^2}{4-k}-\frac{y^2}{1-k}=1$表示焦點在x軸上的橢圓，則k的范圍；
（2）求以F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）為焦點，且過點$M（\sqrt{6}，2）$的橢圓標準方程．

Answer 1

分析 （1）化曲線C的方程為橢圓的標準方程，由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{4-k＞0}\\{k-1＞0}\\{4-k＞k-1}\end{array}\right.$，求解不等式得答案；
（2）由題意得到c，再由橢圓定義求得a，結(jié)合隱含條件求得b，則橢圓方程可求．

解答 解：（1）∵曲線C：$\frac{x^2}{4-k}-\frac{y^2}{1-k}=1$，即$\frac{{x}^{2}}{4-k}+\frac{{y}^{2}}{k-1}=1$表示焦點在x軸上的橢圓，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4-k＞0}\\{k-1＞0}\\{4-k＞k-1}\end{array}\right.$，解得1＜k＜$\frac{5}{2}$，
∴k的范圍是（1，$\frac{5}{2}$）；
（2）∵橢圓過點$M（\sqrt{6}，2）$，且焦點為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），
∴c=2，
2a=$\sqrt{（\sqrt{6}+2）^{2}+{2}^{2}}+\sqrt{（\sqrt{6}-2）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{14+2\sqrt{24}}+\sqrt{14-2\sqrt{24}}$=$2\sqrt{3}+\sqrt{2}+2\sqrt{3}-\sqrt{2}=4\sqrt{3}$．
∴$a=2\sqrt{3}$，
則b²=a²-c²=8．
∴橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{8}=1$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查橢圓標準方程的求法，是基礎(chǔ)題．