Question

1．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，2acosC=bcosC+ccosB．
（1）求角C的大��；
（2）若c=$\sqrt{7}$，a²+b²=10，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理得2sinAcosC=sinBcosC+sinCcosB，由A+B+C=π，求出cosC=$\frac{1}{2}$，由此能求出∠C．
（2）由余弦定理得7=10-ab，從而ab=3，由此能求出△ABC的面積．

解答 解：（1）∵△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，2acosC=bcosC+ccosB，
∴2sinAcosC=sinBcosC+sinCcosB，
∵A+B+C=π，
∴2sinAcosC=sin（B+C）=sinA，
∴cosC=$\frac{1}{2}$，
∵0＜C＜π，∴∠C=$\frac{π}{3}$．
（2）∵c=$\sqrt{7}$，a²+b²=10，$∠C=\frac{π}{3}$，
∴由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，
即7=10-ab，解得ab=3，
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×3×sin\frac{π}{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形角的大小的求法，考查三角形面積的求法，考查正弦定理、余弦定理、正弦函數(shù)加法定理、三角形面積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．