Question

16．某工廠修建一個(gè)長方體無蓋蓄水池，其容積為6400立方米，深度為4米．池底每平方米的造價(jià)為120元，池壁每平方米的造價(jià)為100元．設(shè)池底長方形的長為x米．
（Ⅰ）求底面積，并用含x的表達(dá)式表示池壁面積；
（Ⅱ）怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低？最低造價(jià)是多少？

Answer 1

分析 （Ⅰ）分析題意，本小題是一個(gè)建立函數(shù)模型的問題，可設(shè)水池的底面積為S₁，池壁面積為S₂，由題中所給的關(guān)系，將此兩者用池底長方形長x表示出來．
（Ⅱ）此小題是一個(gè)花費(fèi)最小的問題，依題意，建立起總造價(jià)的函數(shù)解析式，由解析式的結(jié)構(gòu)發(fā)現(xiàn)，此函數(shù)的最小值可用基本不等式求最值，從而由等號成立的條件求出池底邊長度，得出最佳設(shè)計(jì)方案

解答 解：（Ⅰ）設(shè)水池的底面積為S₁，池壁面積為S₂，
則有${S_1}=\frac{6400}{4}=1600$（平方米）．…2分
池底長方形寬為$\frac{1600}{x}$米，則S₂=8x+8×$\frac{1600}{x}$=8（x+$\frac{1600}{x}$）．…6分
（Ⅱ）設(shè)總造價(jià)為y，則
y=120×1 600+100×8（x+$\frac{1600}{x}$）≥192000+64000=256000．…9分
當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{1600}{x}$，即x=40時(shí)取等號．…10分
所以x=40時(shí)，總造價(jià)最低為256000元．
答：當(dāng)池底設(shè)計(jì)為邊長40米的正方形時(shí)，總造價(jià)最低，其值為256000元．…12分．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是建立起符合條件的函數(shù)模型，故分析清楚問題的邏輯聯(lián)系是解決問題的重點(diǎn)，此類問題的求解的一般步驟是：建立函數(shù)模型，進(jìn)行函數(shù)計(jì)算，得出結(jié)果，再將結(jié)果反饋到實(shí)際問題中指導(dǎo)解決問題．