Question

9．已知函數(shù)$f（x）=lnx-\frac{a（x-1）}{x+1}，a∈R$．
（1）若a=2，求證：f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；
（2）若不等式f（x）≥0的解集為[1，+∞），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）a=2時(shí)，x＞0，求出f′（x）=$\frac{（x-1）^{2}}{x（x+1）^{2}}$≥0，由此能證明f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．
（Ⅱ）求出${f}^{'}（x）=\frac{{x}^{2}+2（1-a）x+1}{x（x+1）^{2}}$，x＞0，由此根據(jù)a≤1，1＜a≤2，a＞2分類(lèi)討論，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 證明：（1）∵a=2時(shí)，f（x）=lnx-$\frac{2x-2}{x+1}$，
∴x＞0，${f}^{'}（x）=\frac{1}{x}-\frac{4}{（x+1）^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-2x+1}{x（x+1）^{2}}$=$\frac{（x-1）^{2}}{x（x+1）^{2}}$≥0，
當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，f′（x）=0，
∴f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．
解：（Ⅱ）∵函數(shù)$f（x）=lnx-\frac{a（x-1）}{x+1}，a∈R$，
∴${f}^{'}（x）=\frac{{x}^{2}+2（1-a）x+1}{x（x+1）^{2}}$，x＞0，
注意到f（1）=0，
①當(dāng)a≤1時(shí)，則f′（x）=$\frac{{x}^{2}+2（1-a）x+1}{x（x+1）^{2}}$＞0，∴f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，適合題意；
②當(dāng)1＜a≤2時(shí)，則△=4（a²-2a）≤0，則$f'（x）=\frac{{{x^2}+2（1-a）x+1}}{{x{{（x+1）}^2}}}≥0$，
當(dāng)且僅當(dāng)a=2，x=1時(shí)，取等號(hào)，則f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，適合題意；
③當(dāng)a＞2時(shí)，則△=4（a²-2a）＞0，
則f′（x）=$\frac{{x}^{2}+2（1-a）x+1}{x（x+1）^{2}}$=0有兩個(gè)實(shí)根${x}_{1}=a-1-\sqrt{{a}^{2}-2a}$，${x}_{2}=a-1+\sqrt{{a}^{2}-2a}$，
且0＜x₁＜a-1＜x₂，（a-1＞1），
則f（x）在（0，x₁]，[x₂，+∞）上為增函數(shù)，在（x₁，x₂）上是減函數(shù)，
1∈（x₁，x₂），f（1）=0，不適合題意．
綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)為增函數(shù)的證明，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想、分類(lèi)討論思想，是中檔題．