Question

6．某公司為確定2017年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x（單位：萬元）對年銷售收益y（單位：萬元）的影響，2016年在若干地區(qū)各投入4萬元的宣傳費，并將各地的銷售收益的數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的頻率分布直方圖（如圖所示）．由于工作人員操作失誤，橫軸的數(shù)據(jù)丟失，但可以確定橫軸是從0開始計數(shù)的．
（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖計算圖中各小長方形的寬度，并估計對應(yīng)銷售收益的平均值（以各組的區(qū)間中點值代表該組的取值）；
（Ⅱ）該公司按照類似的研究方法，測得一組數(shù)據(jù)如表所示：

宣傳費x（單位：萬元）	3	2	1	5	4
銷售收益y（單位：萬元）	2	3	2	7	5

表中的數(shù)據(jù)顯示，y與x之間存在線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于x的回歸直線方程；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)宣傳費投入為10萬元時，銷售收益大約為多少萬元？
附：$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)個小長方形的寬度為m，求出m，可得各區(qū)間中點值，即可估計平均值
（Ⅱ）求出回歸系數(shù)，即可求出回歸方程；
（Ⅲ）x=10時，y=12.2，可得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)個小長方形的寬度為m，則（0.08+0.10+0.14+0.12+0.04+0.02）m=1，∴m=2．
各區(qū)間中點值分別為1，3，5，7，9，11，對應(yīng)的頻率分別為0.16，0.20，0.28，0.24，0.08，0.04，
估計平均值為1×0.16+3×0.20+5×0.28+7×0.24+9×0.08+11×0.04=5；
（Ⅱ）由題意，$\overline{x}$=3，$\overline{y}$=3.8，$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=，$\frac{69-5×3×3.8}{55-5×9}$=1.2，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$=3.8-1.2×3=0.2，
∴y關(guān)于x的回歸直線方程y=1.2x+0.2；
（Ⅲ）x=10時，y=12.2，則當(dāng)宣傳費投入為10萬元時，銷售收益大約為12.2萬元．

點評 本題考查回歸方程的計算與運用，考查頻率分布直方圖，屬于中檔題．