Question

16．在直角坐標系中，以坐標原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{2}cosα}\\{y=\sqrt{2}sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）．
（1）求直線l的普通方程；
（2）若P是曲線C上的動點，求點P到直線l的最大距離及點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）直線l的極坐標方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，展開可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}ρ$（sinθ+cosθ）=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，利用互化公式可得直角坐標方程．
（2）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{2}cosα}\\{y=\sqrt{2}sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）．可設(shè)P（1+$\sqrt{2}$cosα，$\sqrt{2}$sinα）．利用點到直線的距離公式可得點P到直線l的距離d=2$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$sin$（α+\frac{π}{4}）$，利用三角函數(shù)的單調(diào)性值域即可得出．

解答 解：（1）直線l的極坐標方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，展開可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}ρ$（sinθ+cosθ）=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
可得x+y-5=0．
（2）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{2}cosα}\\{y=\sqrt{2}sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）．可設(shè)P（1+$\sqrt{2}$cosα，$\sqrt{2}$sinα）．
則點P到直線l的距離d=$\frac{|1+\sqrt{2}cosα+\sqrt{2}sinα-5|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$sin$（α+\frac{π}{4}）$，
當sin$（α+\frac{π}{4}）$=-1時，d取得最大值3$\sqrt{2}$．
取α=$\frac{5π}{4}$，可得P（0，-1）．

點評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標方程化為直角坐標方程、點到直線的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性值域，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．