Question

19．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，且有2bcosC=acosC+ccosA．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若b=2，a=6，D為BC的中點，求AD的長以及△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由余弦定理推導(dǎo)出a²+b²-c²=ab，再由余弦定理求出cosC=$\frac{1}{2}$，由此能求出C的大小．
（Ⅱ）由b=2，a=6，D為BC的中點，C=$\frac{π}{3}$，利用余弦定理能求出AD．由${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×AC×BC×sinC$，能求出△ABC的面積．

解答 解：（Ⅰ）∵△ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，且有2bcosC=acosC+ccosA．
∴$2b×\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$a×\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$+$c×\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$
整理，得：a²+b²-c²=ab，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{ab}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
∵0＜C＜π，∴C=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）∵b=2，a=6，D為BC的中點，C=$\frac{π}{3}$，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}+D{C}^{2}-2AC•DC•cos\frac{π}{3}}$
=$\sqrt{4+9-2×2×3×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{7}$．
${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×AC×BC×sinC$=$\frac{1}{2}×2×6×\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$．

點評 本題考查角的大小的求法，考查三角形面積的求法，考查正弦定理、余弦定理、三角形面積角公式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．