Question

12．如圖所示，在邊長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（1）判斷△BC₁D的形狀；
（2）求二面角A₁-BD-C₁的余弦值．

Answer 1

分析 （1），△BC₁D的三邊BC₁，BD，DC₁均是邊長為1的正方形的對角線，可得△BC₁D的等邊三角形
（2）取DB中點O，連接A₁O，C₁O，則∠A₁OC₁就是二面角A₁-BD-C₁的平面角，連接A₁C₁，在△A₁OC₁中，由余弦定理得：${A}_{1}{{C}_{1}}^{2}={A}_{1}{O}^{2}+{C}_{1}{O}^{2}-2{A}_{1}O•{C}_{1}O$cos∠A₁OC₁，可得cos∠A₁OC₁=$\frac{1}{3}$

解答 解：（1），△BC₁D的三邊BC₁，BD，DC₁均是邊長為1的正方形的對角線，∴△BC₁D的等邊三角形
（2）∵△△BC₁D和△BA₁D都是邊長為$\sqrt{2}$的等邊三角形，
取DB中點O，連接A₁O，C₁O，則∠A₁OC₁就是二面角A₁-BD-C₁的平面角，
連接A₁C₁，在△A₁OC₁中，由余弦定理得：${A}_{1}{{C}_{1}}^{2}={A}_{1}{O}^{2}+{C}_{1}{O}^{2}-2{A}_{1}O•{C}_{1}O$cos∠A₁OC₁，
可得cos∠A₁OC₁=$\frac{1}{3}$，
∴二面角A₁-BD-C₁的余弦值為$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了空間角的求解，屬于中檔題．