Question

13．在△ABC中，A、B、C的對邊分別為a、b、c，求證：對于任意實(shí)數(shù)θ，恒有acos（θ-B）+bcos（θ+A）=ccosθ．

Answer 1

分析 若對于任意實(shí)數(shù)θ，恒有acos（θ-B）+bcos（θ+A）=ccosθ成立，利用正弦定理，余弦定理化簡可得：asinB-bsinA=0，由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，可得恒成立，從而得證．

解答 證明：∵若對于任意實(shí)數(shù)θ，恒有acos（θ-B）+bcos（θ+A）=ccosθ成立，
∴則：acosθcosB+asinBsinθ+bcosθcosA-bsinθsinA=ccosθ，
∴移項(xiàng)，可得：sinθ（asinB-bsinA）=（c-acosB-bcosA）cosθ，
得：sinθ（asinB-bsinA）=（c-a$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$-b$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$）cosθ，
∴化簡，得：sinθ（asinB-bsinA）=0，
∴asinB-bsinA=0，即asinB=bsinA，由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，可得恒成立．
故得證．

點(diǎn)評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．