Question

1．△ABC中，AB=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{3}$，∠BAC=30°，P是△ABC所在平面上任意一點，則μ=$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{PA}$的最小值是$\frac{3\sqrt{2}-11}{6}$．

Answer 1

分析 以A點為原點，以AC所在的直線為x軸，建立如圖所述的坐標系，設P的坐標為（x，y），分別表示出$\overrightarrow{PA}$，$\overrightarrow{PB}$，$\overrightarrow{PC}$，再根據(jù)向量的數(shù)量積公式和二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出．

解答 解：以A點為原點，以AC所在的直線為x軸，
建立如圖所述的坐標系，
∵AB=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{3}$，∠BAC=30°，
∴A（0，0），C（$\sqrt{3}$，0），B（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
設P（x，y），可得$\overrightarrow{PA}$=（-x，-y），
$\overrightarrow{PB}$=（$\frac{\sqrt{6}}{2}$-x，$\frac{\sqrt{2}}{2}$-y），$\overrightarrow{PC}$=（$\sqrt{3}$-x，-y）
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=-x（$\frac{\sqrt{6}}{2}$-x）-y（$\frac{\sqrt{2}}{2}$-y）=x²+y²-$\frac{\sqrt{6}}{2}$x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$y
$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$=（$\frac{\sqrt{6}}{2}$-x）（$\sqrt{3}$-x）+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$-y）（-y）=x²+y²-
（$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{6}}{2}$）x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$y+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$
$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$=（-x）（$\sqrt{3}$-x）+（-y）（-y）=x²+y²-$\sqrt{3}$x，
∴μ=$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{PA}$
=3x²+3y²-（2$\sqrt{3}$+$\sqrt{6}$）x-$\sqrt{2}$y+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$=3（x-$\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{6}}{6}$）²+3（y-$\frac{\sqrt{2}}{6}$）²+$\frac{3\sqrt{2}-11}{6}$
∴當x=$\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{6}}{6}$，y=$\frac{\sqrt{2}}{6}$時，μ=$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{PA}$的最小值是$\frac{3\sqrt{2}-11}{6}$．
故答案為：$\frac{3\sqrt{2}-11}{6}$

點評 本題查了平面向量數(shù)量積的計算公式和二次函數(shù)求最值等知識，屬于中檔題．