Question

1．已知數(shù)列{a_n}、{b_n}、{c_n}，以下兩個命題：
①若{a_n+b_n}、{b_n+c_n}、{a_n+c_n}都是遞增數(shù)列，則{a_n}、{b_n}、{c_n}都是遞增數(shù)列；
②若{a_n+b_n}、{b_n+c_n}、{a_n+c_n}都是等差數(shù)列，則{a_n}、{b_n}、{c_n}都是等差數(shù)列；
下列判斷正確的是（　�。�

• A． ①②都是真命題
• B． ①②都是假命題
• C． ①是真命題，②是假命題
• D． ①是假命題，②是真命題

Answer 1

分析 對于①不妨設(shè)a_n=2n，b_n=3n、c_n=sinn，滿足{a_n+b_n}、{b_n+c_n}、{a_n+c_n}都是遞增數(shù)列，但是不滿足c_n=sinn是遞增數(shù)列，
對于②根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和定義即可判斷．

解答 解：對于①不妨設(shè)a_n=2n，b_n=3n、c_n=sinn，
∴{a_n+b_n}、{b_n+c_n}、{a_n+c_n}都是遞增數(shù)列，但c_n=sinn不是遞增數(shù)列，故為假命題，
對于②{a_n+b_n}、{b_n+c_n}、{a_n+c_n}都是等差數(shù)列，不妨設(shè)公差為分別為a，b，c，
∴a_n+b_n-a_n-1-b_n-1=a，b_n+c_n-b_n-1-c_n-1=b，a_n+c_n-a_n-1-c_n-1=c，
設(shè){a_n}，{b_n}、{c_n}的公差為x，y，z，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+y=a}\\{y+z=b}\\{z+x=c}\end{array}\right.$
則x=$\frac{a-b+c}{2}$，y=$\frac{a+b-c}{2}$，z=$\frac{b+c-a}{2}$，
故若{a_n+b_n}、{b_n+c_n}、{a_n+c_n}都是等差數(shù)列，則{a_n}、{b_n}、{c_n}都是等差數(shù)列，故為真命題，
故選：D

點評 本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和定義，以及命題的真假，屬于基礎(chǔ)題．