Question

19．已知函數(shù)f（x）=ax+$\frac{x}+c（{a＞0}），g（x）=lnx$，其中函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=x-1．
（1）若a=$\frac{1}{2}$，求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若f（x）≥g（x）在[1，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）證明：1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}＞ln（{n+1}）+\frac{n}{{2（{n+1}）}}（{n≥1}）$．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)值就是切線的斜率，切點(diǎn)在切線上，求出b，c，從而求出函數(shù)的解析式即可；
（2）利用f（x）≥lnx，構(gòu)造g（x）=f（x）-lnx，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為g（x）=f（x）-lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在[1，+∞）上的最小值大于0，求a的取值范圍；
（3）由（1）可知a≥$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，則當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{x}$）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，對(duì)不等式的左側(cè)每一項(xiàng)裂項(xiàng)，然后求和，即可推出要證結(jié)論．

解答 解：（1）f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=a-$\frac{{x}^{2}}$，
則有 $\left\{\begin{array}{l}{f（1）=a+b+c=0}\\{f′（1）=a-b=1}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{b=a-1}\\{c=1-2a}\end{array}\right.$，
由a=$\frac{1}{2}$，得b=-$\frac{1}{2}$，c=0，
故f（x）=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2x}$；
（2）由（1）知f（x）=ax+$\frac{a-1}{x}$+1-2a，
令φ（x）=f（x）-g（x）=ax+$\frac{a-1}{x}$+1-2a-lnx，x∈[1，+∞），
則φ（1）=0，φ′（x）=a-$\frac{a-1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{a（x-1）（x-\frac{1-a}{a}）}{{x}^{2}}$，
（ i）當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，$\frac{1-a}{a}$＞1．
若1＜x＜$\frac{1-a}{a}$，則φ′（x）＜0，φ（x）是減函數(shù)，
所以φ（x）＜φ（1）=0，即f（x）＜g（x）．
故f（x）≥g（x）在[1，+∞）上不恒成立．
（ii）當(dāng)a≥$\frac{1}{2}$時(shí)，$\frac{1-a}{a}$≤1．
若x＞1，則φ'（x）＞0，φ（x）是增函數(shù)，
所以φ（x）＞φ（1）=0，即f（x）＞g（x），
故當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）≥g（x）．
綜上所述，所求a的取值范圍為[$\frac{1}{2}$，+∞）．
（3）由（2）知當(dāng)a≥$\frac{1}{2}$時(shí)，有f（x）≥g（x）（x≥1）．
令a=$\frac{1}{2}$，有f（x）=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{x}$）≥lnx
且當(dāng)x＞1時(shí)，$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{x}$）＞lnx．   
令x=$\frac{k+1}{k}$，有l(wèi)n $\frac{k+1}{k}$＜$\frac{1}{2}$（ $\frac{k+1}{k}$-$\frac{k}{k+1}$）=$\frac{1}{2}$[（1+$\frac{1}{k}$）-（1-$\frac{1}{k+1}$）]
∴l(xiāng)n（k+1）-lnk＜$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{k}$+$\frac{1}{k+1}$），k=1，2，3，…，n，
將上述n個(gè)不等式依次相加，得ln（n+1）＜$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$）+$\frac{1}{2（n+1）}$，
整理得1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$＞ln（n+1）+$\frac{n}{2（n+1）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是難題，考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，曲線切線的斜率，恒成立問(wèn)題的應(yīng)用，累加法與裂項(xiàng)法的應(yīng)用，知識(shí)綜合能力強(qiáng)，方法多，思維量與運(yùn)算量以及難度大，需要仔細(xì)審題解答，還考查分類討論思想．