Question

4．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知直線$l：x=\frac{{\sqrt{3}}}{3}y+2$，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（1）寫出直線l的極坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)直線l與曲線$\left\{\begin{array}{l}x={m^2}\\ y=2m\end{array}\right.$（m為參數(shù)）相交于A，B兩點(diǎn)，求點(diǎn)P（2，0）到兩點(diǎn)A，B的距離之積．

Answer 1

分析 （1）由x=ρcosθ，y=ρsinρ，能求出直線l的極坐標(biāo)方程．
（2）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{t}{2}}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)），點(diǎn)A，B都在直線l上，曲線$\left\{\begin{array}{l}x={m^2}\\ y=2m\end{array}\right.$（m為參數(shù)）化為普通方程為y²=4x，將直線l的參數(shù)方程代入拋物線方程y²=4x，得3t²-8t-32=0，由此能求出點(diǎn)P（2，0）到兩點(diǎn)A，B的距離之積．

解答 解：（1）∵直線$l：x=\frac{{\sqrt{3}}}{3}y+2$，
∴直線l的極坐標(biāo)方程為$\sqrt{3}ρcosθ-ρsinθ-2\sqrt{3}=0$．
（2）直線$l：x=\frac{{\sqrt{3}}}{3}y+2$，即y=$\sqrt{3}$（x-2），
其參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{t}{2}}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)），
∵點(diǎn)A，B都在直線l上，∴設(shè)它們的參數(shù)分別為t₁，t₂，
則A（2+$\frac{1}{2}{t}_{1}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}{t}_{1}$），B（2+$\frac{1}{2}{t}_{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}{t}_{2}$），
將曲線$\left\{\begin{array}{l}x={m^2}\\ y=2m\end{array}\right.$（m為參數(shù)）的參數(shù)方程化為普通方程為y²=4x，
將直線l的參數(shù)方程代入拋物線方程y²=4x，
整理，得3t²-8t-32=0，①
設(shè)t₁，t₂是方程①的解，則${t}_{1}{t}_{2}=-\frac{32}{3}$，
∴點(diǎn)P（2，0）到兩點(diǎn)A，B的距離之積|PA|•|PB|=|t₁t₂|=$\frac{32}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查直線的極坐標(biāo)方程的求法考查點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之積的求法，考查極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的互化等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．