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16.在三角形ABC中,∠B=\frac{π}{3},AB=1,BC=2,點D在邊AC上,且\overrightarrow{AD}\overrightarrow{AC},λ∈R.若\overrightarrow{BD}\overrightarrow{BC}=2,則λ=\frac{1}{3}

分析 利用向量的加減法法則及平面向量基本定理把\overrightarrow{BD}\overrightarrow{BA}\overrightarrow{BC}表示,然后結合\overrightarrow{BD}\overrightarrow{BC}=2列式求得λ值.

解答 解:如圖,

\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BA}+λ\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BA}+λ(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA})=(1-λ)\overrightarrow{BA}+λ\overrightarrow{BC},
且∠B=\frac{π}{3},AB=1,BC=2,
\overrightarrow{BD}\overrightarrow{BC}=[(1-λ)\overrightarrow{BA}\overrightarrow{BC}]•\overrightarrow{BC}=(1-λ)\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}+λ{\overrightarrow{BC}}^{2}
=(1-λ)|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}|cos60°+λ|\overrightarrow{BC}{|}^{2}
=1×2×\frac{1}{2}(1-λ)+4λ=2,
解得λ=\frac{1}{3}
故答案為:\frac{1}{3}

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算,考查向量垂直與數(shù)量積間的關系,訓練了平面向量基本定理的應用,是中檔題.

練習冊系列答案
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