16.在三角形ABC中,∠B=$\frac{π}{3}$,AB=1,BC=2,點D在邊AC上,且$\overrightarrow{AD}$=λ$\overrightarrow{AC}$,λ∈R.若$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{BC}$=2,則λ=$\frac{1}{3}$.

分析 利用向量的加減法法則及平面向量基本定理把$\overrightarrow{BD}$用$\overrightarrow{BA}$和$\overrightarrow{BC}$表示,然后結合$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{BC}$=2列式求得λ值.

解答 解:如圖,

∵$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BA}+λ\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BA}+$$λ(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA})$=$(1-λ)\overrightarrow{BA}+λ\overrightarrow{BC}$,
且∠B=$\frac{π}{3}$,AB=1,BC=2,
∴$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{BC}$=[(1-λ)$\overrightarrow{BA}$+λ$\overrightarrow{BC}$]•$\overrightarrow{BC}$=(1-λ)$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$+$λ{\overrightarrow{BC}}^{2}$
=(1-λ)$|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}|cos60°$+$λ|\overrightarrow{BC}{|}^{2}$
=1×$2×\frac{1}{2}$(1-λ)+4λ=2,
解得λ=$\frac{1}{3}$.
故答案為:$\frac{1}{3}$.

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算,考查向量垂直與數(shù)量積間的關系,訓練了平面向量基本定理的應用,是中檔題.

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