Question

6．冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間有關(guān)系，某農(nóng)科所對(duì)此關(guān)系進(jìn)行了調(diào)查分析，他們分別記錄了12月1日至12月5日的每天晝夜溫差與實(shí)驗(yàn)室每天每100顆種子中的發(fā)芽數(shù)，得到如下資料：

日期	12月1日	12月2日	12月3日	12月4日	12月5日
溫差x/℃	10	11	13	12	8
發(fā)芽數(shù)y/顆	23	25	30	26	16

該農(nóng)科所確定的研究方案是：先從這五組數(shù)據(jù)中選取2組，用剩下的3組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再對(duì)被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)．
（Ⅰ）求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是相鄰2天數(shù)據(jù)的概率；
（Ⅱ）若選取的是12月1日與12月5日的兩組數(shù)據(jù)，請(qǐng)根據(jù)12月2日至12月4日的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat$x+$\widehat{a}$；
（Ⅲ）若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差不超過(guò)2顆，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的，試問(wèn)（2）中所得的線性回歸方程是否可靠？
（參考公式：$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$．）

Answer 1

分析 （Ⅰ）用列舉法求基本事件數(shù)，計(jì)算所求的概率值；
（Ⅱ）由數(shù)據(jù)計(jì)算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回歸系數(shù)，寫(xiě)出回歸方程；
（Ⅲ）計(jì)算x=10時(shí)$\widehat{y}$的值和x=8時(shí)$\widehat{y}$的值，再比較得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)抽到不相鄰的兩組數(shù)據(jù)為事件A，
從5組數(shù)據(jù)中選取2組數(shù)據(jù)共有10種情況：
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），
（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），
其中數(shù)據(jù)為12月份的日期數(shù)，每種情況都是可能出現(xiàn)的，
事件A包括的基本事件有6種；
∴P（A）=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$；
∴選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰2天數(shù)據(jù)的概率是$\frac{3}{5}$；
（Ⅱ）由數(shù)據(jù)，求得$\overline{x}$=$\frac{1}{3}$×（11+13+12）=12，
$\overline{y}$=$\frac{1}{3}$×（25+30+26）=27，
由公式，求得$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{（-1）×（-2）+1×3+0×（-1）}{{（-1）}^{2}{+1}^{2}{+0}^{2}}$=2.5，
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$=27-2.5×12=-3，
∴y關(guān)于x的線性回歸方程為$\widehat{y}$=2.5x-3；
（Ⅲ）當(dāng)x=10時(shí)，$\widehat{y}$=2.5×10-3=22，|22-23|＜2；
同樣當(dāng)x=8時(shí)，$\widehat{y}$=2.5×8-3=17，|17-16|＜2；
∴（Ⅱ）中所得的線性回歸方程可靠．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線性回歸方程和列舉法求概率的應(yīng)用問(wèn)題，是中檔題．