Question

14．在平面直角坐標系xOy中，原點為O，拋物線C的方程為x²=4y，線段AB是拋物線C的一條動弦．
（1）求拋物線C的準線方程和焦點坐標F； 
（2）若$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=-4$，求證：直線AB恒過定點．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線C的方程為x²=4y，真假寫出準線方程，焦點坐標．
（2）設直線AB方程為y=kx+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達定理以及$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=-4$，求出b，得到直線方程，然后求出定點坐標．

解答 解：（1）拋物線C的方程為x²=4y，可得準線方程：y=-1焦點坐標：F（0，1）
（2）證明：設直線AB方程為y=kx+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+b\\{x^2}=4y\end{array}\right.$得 x²-4kx-4b=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=4k\\{x_1}{x_2}=-4b\end{array}\right.$，
$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}={x_1}{x_2}+\frac{{{x_1}^2{x_2}^2}}{16}=-4$，
∴x₁x₂=-8，
∴-4b=-8，b=2，
直線y=kx+2過定點（0，2）．

點評 本題考查拋物線的簡單性質的應用，直線與拋物線的位置關系的應用，考查計算能力．