Question

5．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），與y軸的正半軸交于點(diǎn)P（0，b），右焦點(diǎn)F（c，0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且tan∠PFO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求橢圓的離心率e；
（2）已知點(diǎn)M（1，0），N（3，2），過(guò)點(diǎn)M任意作直線l與橢圓C交于C，D兩點(diǎn)，設(shè)直線CN，DN的斜率k₁，k₂，若k₁+k₂=2，試求橢圓C的方程．

Answer 1

分析 （1）tan∠PFO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得$\frac{c}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，c=$\sqrt{2}$b，a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$b．即可得出．
（2）直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為：ty=x-1．設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）．直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為：（t²+3）y²+2ty+1-3b²=0，由k₁+k₂=2，即$\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}-3}$+$\frac{{y}_{2}-2}{{x}_{2}-3}$=2，化為：ty₁•y₂=y₁+y₂，利用根與系數(shù)的關(guān)系代入即可得出．直線l的斜率為0時(shí)也成立．

解答 解：（1）∵tan∠PFO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴$\frac{c}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴c=$\sqrt{2}$b，a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$b．
∴$e=\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（2）直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為：ty=x-1．設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{ty=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{3^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，化為：（t²+3）y²+2ty+1-3b²=0，
y₁+y₂=$\frac{-2t}{{t}^{2}+3}$，y₁•y₂=$\frac{1-3^{2}}{{t}^{2}+3}$，
∵k₁+k₂=2，∴$\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}-3}$+$\frac{{y}_{2}-2}{{x}_{2}-3}$=2，
化為：（y₁-2）（ty₂-2）+（y₂-2）（ty₁-2）=2（ty₁-2）（ty₂-2），
即：ty₁•y₂=y₁+y₂，
∴t•$\frac{1-3^{2}}{{t}^{2}+3}$=$\frac{-2t}{{t}^{2}+3}$，對(duì)?t∈R都成立．
化為：b²=1，
直線l的斜率為0時(shí)也成立，
∴b²=1，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．