Question

4．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，向量$\overrightarrow{a}$=（S_n，n），$\overrightarrow$=（9n-7，2）且$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$共線．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）對任意m∈N^*，將數(shù)列{a_n}中落入?yún)^(qū)間（9^m，9^2m）內(nèi)的項的個數(shù)記為b_m，求數(shù)列{b_m}的前m項和S_m．

Answer 1

分析 （1）利用向量關系定理、遞推關系即可得出．
（2）對m∈N^*，若9^m＜a_n＜9^2m，則9^m+8＜9n＜9^2m+8，9^m-1+1≤n≤9^2m-1．可得b_m=9^2m-1-9^m-1．再利用等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$共線．
∴2S_n=n（9n-7），
∴${S_n}=\frac{n（9n-7）}{2}=\frac{9}{2}{n^2}-\frac{7}{2}n$，
∴a₁=1，a_n=S_n-S_n-1=9n-8
∴a_n=9n-8（n∈N^*）．  
（2）對m∈N^*，若9^m＜a_n＜9^2m，則9^m+8＜9n＜9^2m+8．
因此9^m-1+1≤n≤9^2m-1．故得b_m=9^2m-1-9^m-1．
于是T_m=b₁+b₂+b₃+…+b_m
=（9+9³+…+9^2m-1）-（1+9+…+9^m-1）=$\frac{9×（1-81m）}{1-81}$-$\frac{（1-9m）}{1-9}$
=$\frac{92m+1-10×9m+1}{80}$．

點評 本題考查了向量關系定理、等比數(shù)列的通項公式與求和公式、遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．