Question

6．設函數f（x）=$\frac{2}{x}$-2+2alnx．
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）若f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]上的最小值為0，求實數a的值．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=-$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{2a}{x}$=$\frac{2ax-2}{{x}^{2}}$（x＞0）．分類討論：a≤0時，a＞0時，即可得出單調性．
（2）由（1）可得：①a≤0時，函數f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上單調遞減，可得f（2）=0，解得a．
②a＞0時，分類討論：（i）$\frac{1}{a}$≥2，即0＜a≤$\frac{1}{2}$時；（ii）0＜$\frac{1}{a}$$≤\frac{1}{2}$，即a≥2時；（iii）$\frac{1}{2}＜\frac{1}{a}＜2$，即$\frac{1}{2}＜a＜2$時，利用其單調性即可得出極值與最值．

解答 解：（1）f′（x）=-$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{2a}{x}$=$\frac{2ax-2}{{x}^{2}}$（x＞0）．
a≤0時，f′（x）＜0，此時函數f（x）在（0，+∞）上單調遞減．
a＞0時，f′（x）=$\frac{2a（x-\frac{1}{a}）}{{x}^{2}}$，則x∈$（0，\frac{1}{a}）$時，函數f（x）單調遞減；
x∈$（\frac{1}{a}，+∞）$時，函數f（x）單調遞增．
（2）由（1）可得：
①a≤0時，函數f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上單調遞減，則f（2）=1-2+2aln2=0，解得a=$\frac{1}{2ln2}$，舍去．
②a＞0時，
（i）$\frac{1}{a}$≥2，即0＜a≤$\frac{1}{2}$時，f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上單調遞減，則f（2）=1-2+2aln2=0，解得a=$\frac{1}{2ln2}$$＞\frac{1}{2}$，舍去．
（ii）0＜$\frac{1}{a}$$≤\frac{1}{2}$，即a≥2時，f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上單調遞增，則f（$\frac{1}{2}$）=4-2+2aln$\frac{1}{2}$=0，解得a=$\frac{1}{ln2}$＜2，舍去．
（iii）$\frac{1}{2}＜\frac{1}{a}＜2$，即$\frac{1}{2}＜a＜2$時，f（x）在[$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{a}$）上單調遞減，在$（\frac{1}{a}，2]$上單調遞增．
則f（$\frac{1}{a}$）=2a-2+2aln$\frac{1}{a}$=0，化為：2a-2=2alna，
令g（x）=2x-2-2xlnx（x＞0），g（1）=0，
g′（x）=2-2lnx-2=-2lnx，可得x＞1時，函數g（x）單調遞減，1＞x＞0時，函數g（x）單調遞增．
∴x=1時，函數g（x）取得極大值即最大值．
∴g（x）≤g（1）=0，因此2a-2=2alna有唯一解a=1．滿足條件．
綜上可得：a=1．

點評 本題考查了利用對數研究函數的單調性極值與最值、不等式與付出的解法、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．