Question

7．正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為4，E為棱AB的中點(diǎn)，過(guò)E作此正四面體的外接球的截面，則截面面積的最小值是（　�。�

• A． 4π
• B． 8π
• C． 12π
• D． 16π

Answer 1

分析 根據(jù)題意，將四面體ABCD放置于如圖所示的正方體中，則正方體的外接球就是四面體ABCD的外接球．因此利用題中數(shù)據(jù)算出外接球半徑R，當(dāng)球心O到截面的距離最大時(shí)，截面圓的面積達(dá)最小值，再利用球的截面圓性質(zhì)可算出截面面積的最小值．

解答 解：將四面體ABCD放置于正方體中，如圖所示
可得正方體的外接球就是四面體ABCD的外接球，
∵正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為4，∴正方體的棱長(zhǎng)為2$\sqrt{2}$，
可得外接球半徑R滿足2R=2$\sqrt{2}$×$\sqrt{3}$，R=$\sqrt{6}$．
E為棱BC的中點(diǎn)，過(guò)E作其外接球的截面，當(dāng)球心O到截面的距離最大時(shí)，截面圓的面積達(dá)最小值，
此時(shí)球心O到截面的距離等于正方體棱長(zhǎng)的一半，可得截面圓的半徑為r=$\sqrt{{R}^{2}-2}=2$．
得到截面圓的面積最小值為S=πr²=4π．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題給出正四面體的外接球，求截面圓的面積最小值．著重考查了正方體的性質(zhì)、球內(nèi)接多面體和球的截面圓性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．