分析 (1)由題意可知,AM⊥D′E,AM⊥EF,利用線面垂直的判定可得AM⊥平面D′EF,進一步得到平面D′EF⊥平面AMCB;
(2)過D′作D′H⊥EF于H,由平面D′EF⊥平面AMCB,可得D′H⊥平面AMCB,得到∠D′FE=$\frac{π}{3}$,結(jié)合∠D′EF=$\frac{π}{3}$,可得△D′FE是正三角形.然后求解直角三角形可得D′H,利用等積法求得幾何體A-D′EF的體積.
解答 (1)證明:∵AM⊥D′E,AM⊥EF,且D′E∩EF=E,
∴AM⊥平面D′EF,
∵AM?平面AMCB,
∴平面D′EF⊥平面AMCB;
(2)解:過D′作D′H⊥EF于H,
∵平面D′EF⊥平面AMCB,
∴D′H⊥平面AMCB,
∵直線D′F與平面ABCM所成角的大小為$\frac{π}{3}$,
∴∠D′FE=$\frac{π}{3}$,又∠D′EF=$\frac{π}{3}$,則△D′FE是正三角形.
∵AB=2BC=4,
∴AD=DF=2,EF=$\sqrt{2}$,
∴D′H=$\frac{\sqrt{6}}{2}$,S△AEF=1,
則${V}_{A-D′EF}={V}_{D′-AEF}=\frac{1}{3}×1×\frac{\sqrt{6}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{6}$.
點評 本題考查平面與平面垂直的判定,考查空間想象能力和思維能力,訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體積,是中檔題.
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A. | $\frac{1}{2}$ | B. | $\frac{1}{5}$ | C. | $\frac{2}{3}$ | D. | $\frac{3}{50}$ |
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A. | 至少有一個正面和最多一個正面 | B. | 最多兩個正面和至少兩個正面 | ||
C. | 不多于一個正面和至少兩個正面 | D. | 至少兩個正面和恰有一個正面 |
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