2.如圖,在矩形ABCD中,AB=2BC,點M在邊CD上,點F在邊AB上,且DF⊥AM,垂足為E,若將△ADM沿AM折起,使點D位于D′位置,連接D′B,D′C,得四棱錐D′-ABCM.
(1)求證:平面D′EF⊥平面AMCB;
(2)若∠D′EF=$\frac{π}{3}$,直線D′F與平面ABCM所成角的大小為$\frac{π}{3}$,求幾何體A-D′EF的體積.

分析 (1)由題意可知,AM⊥D′E,AM⊥EF,利用線面垂直的判定可得AM⊥平面D′EF,進一步得到平面D′EF⊥平面AMCB;
(2)過D′作D′H⊥EF于H,由平面D′EF⊥平面AMCB,可得D′H⊥平面AMCB,得到∠D′FE=$\frac{π}{3}$,結(jié)合∠D′EF=$\frac{π}{3}$,可得△D′FE是正三角形.然后求解直角三角形可得D′H,利用等積法求得幾何體A-D′EF的體積.

解答 (1)證明:∵AM⊥D′E,AM⊥EF,且D′E∩EF=E,
∴AM⊥平面D′EF,
∵AM?平面AMCB,
∴平面D′EF⊥平面AMCB;
(2)解:過D′作D′H⊥EF于H,
∵平面D′EF⊥平面AMCB,
∴D′H⊥平面AMCB,
∵直線D′F與平面ABCM所成角的大小為$\frac{π}{3}$,
∴∠D′FE=$\frac{π}{3}$,又∠D′EF=$\frac{π}{3}$,則△D′FE是正三角形.
∵AB=2BC=4,
∴AD=DF=2,EF=$\sqrt{2}$,
∴D′H=$\frac{\sqrt{6}}{2}$,S△AEF=1,
則${V}_{A-D′EF}={V}_{D′-AEF}=\frac{1}{3}×1×\frac{\sqrt{6}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{6}$.

點評 本題考查平面與平面垂直的判定,考查空間想象能力和思維能力,訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體積,是中檔題.

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