Question

10．如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別在AD，CD上，AE=EF，EF交BD于點(diǎn)H，將△DEF沿EF折到△D'EF的位置．
（1）證明：AC⊥HD'；
（2）若$AB=5，AC=6，AE=\frac{5}{4}，OD'=2\sqrt{2}$，求五棱錐D'-ABCEF體積．

Answer 1

分析 （1）證明AC∥EF，通過(guò)EF⊥HD，EF⊥HD'，證明AC∥HD'．
（2）利用平行關(guān)系，經(jīng)過(guò)計(jì)算證明OD′⊥OH，結(jié)合AC⊥HD′，AC⊥BD，推出AC⊥平面BHD′，得到AC⊥OD′，求出$EF=\frac{9}{2}$．五邊形ABCFE的面積，然后求解五棱錐D'-ABCEF體積．

解答 解：（1）由已知得，AC⊥BD，AD=CD，
又由AE=CF得$\frac{AE}{AD}=\frac{CF}{CD}$，故AC∥EF，
由此得EF⊥HD，EF⊥HD'，所以AC∥HD'．
（2）由EF∥AC得$\frac{OH}{DO}=\frac{AE}{AD}=\frac{1}{4}$，
由AB=5，AC=6得$DO=BO=\sqrt{A{B^2}-A{O^2}}=4$，
所以O(shè)H=1，D'H=DH=3，于是OD′²+OH²=$（2\sqrt{2}）^{2}+{1}^{2}$=9=D′H²，
所以O(shè)D′⊥OH，由（1）可知：AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′=H，
所以AC⊥平面BHD′，于是AC⊥OD′，
又由OD'⊥OH，AC∩OH=O，所以，OD'⊥平面ABC．
又由$\frac{EF}{AC}=\frac{DH}{DO}$得$EF=\frac{9}{2}$．
五邊形ABCFE的面積$S=\frac{1}{2}×6×8-\frac{1}{2}×\frac{9}{2}×3=\frac{69}{4}$．
所以五棱錐D'-ABCEF體積$V=\frac{1}{3}×\frac{69}{4}×2\sqrt{2}=\frac{{23\sqrt{2}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題列出直線與平面垂直的判定定理以及幾何體的體積的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及空間想象能力計(jì)算能力．