Question

18．過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點F₁作斜率為1的直線，分別與漸近線相交于A，B兩點，若$\frac{|A{F}_{1}|}{|B{F}_{1}|}$=$\frac{1}{2}$，則雙曲線的離心率為$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 設(shè)出過焦點的直線方程，與雙曲線的漸近線方程聯(lián)立把A，B表示出來，再由條件可得A為F₁B的中點，運用中點坐標(biāo)公式，可得a，b，c的關(guān)系，然后求雙曲線的離心率．

解答 解：設(shè)F₁（-c，0），則過F₁作斜率為1的直線為：y=x+c，
而漸近線的方程是：y=±$\frac{a}$x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+c}\\{y=-\frac{a}x}\end{array}\right.$得：A（-$\frac{ac}{a+b}$，$\frac{bc}{a+b}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+c}\\{y=\frac{a}x}\end{array}\right.$得，B（-$\frac{ac}{a-b}$，-$\frac{bc}{a-b}$），
若$\frac{|A{F}_{1}|}{|B{F}_{1}|}$=$\frac{1}{2}$，可得A為F₁B的中點，
可得-c-$\frac{ac}{a-b}$=-2•$\frac{ac}{a+b}$，
化為b=3a，c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{10}$a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{10}$．
故答案為$\sqrt{10}$．

點評 本題考查雙曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，主要是離心率的求法，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意中點坐標(biāo)公式的合理運用．