Question

14．隨著大數(shù)據(jù)統(tǒng)計的廣泛應用，給人們的出行帶來了越來越多的方便．郭叔一家計劃在8月11日至8月20日暑假期間游覽上海Disney主題公園．通過上網(wǎng)搜索旅游局的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，該Disney主題公園在此期間“游覽舒適度”（即在園人數(shù)與景區(qū)主管部門核定的最大瞬時容量之比，40%以下為舒適，40%-60%為一般，60%以上為擁擠）情況如圖所示．郭叔預計隨機的在8月11日至8月19日中的某一天到達該主題公園，并游覽2天．

（Ⅰ）求郭叔連續(xù)兩天都遇上擁擠的概率；
（Ⅱ）設X是郭叔游覽期間遇上舒適的天數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望；
（Ⅲ）由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天游覽舒適度的方差最大？（直接寫出結論不要求證明，計算）

Answer 1

分析 （I）設A_i表示第i天開始游覽公園，則連續(xù)兩天擁擠的概率為P（A₄）+P（A₇）；
（II）根據(jù)圖表計算各種情況的可能性，得出分布列；
（III）當連續(xù)三天的舒服度相差最大時，方差最大．

解答 解：設A_i表示事件“郭叔8月11日起第i日連續(xù)兩天游覽主題公園”（i=1，2，…，9）．
根據(jù)題意，$P（{A_i}）=\frac{1}{9}$
（Ⅰ）設B為事件“郭叔連續(xù)兩天都遇上擁擠”，則B=A₄∪A₇
所以$P（B）=P（{A_4}∪{A_7}）=P（{A_4}）+P（{A_7}）=\frac{2}{9}$．
（Ⅱ）X的所有可能取值為0，1，2，
$P（X=0）=P（{A_4}∪{A_7}∪{A_8}）=P（{A_4}）+P（{A_7}）+P（{A_8}）=\frac{1}{3}$，
$P（X=1）=P（{A_3}∪{A_5}∪{A_6}∪{A_9}）=P（{A_3}）+P（{A_5}）+P（{A_6}）+P（{A_9}）=\frac{4}{9}$，
$P（X=2）=P（{A_1}∪{A_2}）=P（{A_1}）+P（{A_2}）=\frac{2}{9}$．
所以X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{2}{9}$

故X的期望$EX=0×\frac{1}{3}+1×\frac{4}{9}+2×\frac{2}{9}=\frac{8}{9}$．
（Ⅲ）有圖可知，8月12，8月13，8月14連續(xù)三天游覽舒適度的方差最大．

點評 本題考查了離散型隨機變量的分布列，屬于基礎題．