【題目】已知函數(shù),其中

（1）當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若函數(shù)存在最小值,求證:.

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）將代入函數(shù),對(duì)函數(shù)求導(dǎo),將代入導(dǎo)函數(shù)求斜率,將代入原函數(shù)求切點(diǎn),最后用點(diǎn)斜式求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）先求導(dǎo)得,討論當(dāng)時(shí),恒成立,則在單調(diào)遞增,無最小值.當(dāng)時(shí),令得或（舍）

分別討論時(shí)和 時(shí)的單調(diào)性,得出所以存在最小值,.再對(duì)新函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)單調(diào)性即可得出最大值為,則得證.

解：（1）時(shí),

切線斜率

曲線在點(diǎn)處的切線方程為：

即：

（2）

①當(dāng)時(shí),恒成立

在單調(diào)遞增,無最小值

②當(dāng)時(shí),由得或（舍）

時(shí),,在單調(diào)遞減

時(shí),,在單調(diào)遞增

所以存在最小值,

下面證明.

設(shè)函數(shù)

由得,易知在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減

所以的最大值為

所以恒成立,得證.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】數(shù)（其中）的圖象如圖所示，為了得到的圖象，則只要將的圖象上所有的點(diǎn)（ ）

A.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，縱坐標(biāo)縮短到原來的，橫坐標(biāo)不變

B.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的3倍橫坐標(biāo)不變

C.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，縱坐標(biāo)縮短到原來的，橫坐標(biāo)不變

D.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的3倍，橫坐標(biāo)不變

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中.已知：數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，　 　.求：對(duì)大于1的自然數(shù)，是否存在大于2的自然數(shù)，使得，，成等比數(shù)列.若存在，求的最小值；若不存在，說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓:上任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離和為4，且離心率為．

（1）求橢圓的方程．

（2）過作互相垂直的兩條直線分別與橢圓交于，和，，設(shè)中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，試探究直線是否過定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)；若不是，說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】當(dāng)時(shí),若函數(shù)的圖象與的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn),則正實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）

A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知過橢圓的焦點(diǎn)，且橢圓的中心關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（為橢圓的焦距）.

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在過點(diǎn)，且交橢圓于點(diǎn)的直線，滿足.若存在，求直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了調(diào)查某款電視機(jī)的壽命，研究人員對(duì)該款電視機(jī)進(jìn)行了相應(yīng)的測(cè)試，將得到的數(shù)據(jù)分組：，，，，，并統(tǒng)計(jì)如圖所示：

并對(duì)不同性別的市民對(duì)這款電視機(jī)的購(gòu)買意愿作出調(diào)查，得到的數(shù)據(jù)如下表所示：

愿意購(gòu)買該款電視機(jī)

不愿意購(gòu)買該款電視機(jī)

總計(jì)

男性

800

1000

女性

600

總計(jì)

1200

（1）根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，試估計(jì)該款電視機(jī)的平均壽命；

（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為“是否愿意購(gòu)買該款電視機(jī)”與“市民的性別”有關(guān)；

（3）以頻率估計(jì)概率，若在該款電視機(jī)的生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取4臺(tái)，記其中壽命不低于4年的電視機(jī)的臺(tái)數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

參考公式及數(shù)據(jù)：，其中．

0.100

0.050

0.010

0.001

2.706

3.841

6.635

10.828

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某工廠的,,三個(gè)不同車間生產(chǎn)同一產(chǎn)品的數(shù)量(單位:件)如下表所示.質(zhì)檢人員用分層抽樣的方法從這些產(chǎn)品中共抽取6件樣品進(jìn)行檢測(cè):

車間

數(shù)量

50

150

100

(1)求這6件樣品中來自,,各車間產(chǎn)品的數(shù)量;

(2)若在這6件樣品中隨機(jī)抽取2件進(jìn)行進(jìn)一步檢測(cè),求這2件產(chǎn)品來自相同車間的概率.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，離心率為.

（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，若，，求的值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案