分析 (Ⅰ)由題知b=1,由√a2−b2a=√22,b=1,聯(lián)立解出即可得出.
(Ⅱ)①證法一:設(shè)B(x0,y0)(y0>0),則x022+y02=1,因?yàn)辄c(diǎn)B,C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則C(-x0,-y0),利用斜率計(jì)算公式即可得出.
證法二:直線AC的方程為y=k1x+1,與橢圓方程聯(lián)立可得坐標(biāo),即可得出.
②直線AC的方程為y=k1x+1,直線AB的方程為y=k2x+1,不妨設(shè)k1>0,則k2<0,令y=2,得E(1k2,2),F(xiàn)(1k1,2),可得△CEF的面積S△CEF=12×|EF|×(2−yC).
解答 解:(Ⅰ)由題知b=1,由√a2−b2a=√22,
所以a2=2,b2=1.
故橢圓的方程為x22+y2=1. (3分)
(Ⅱ)①證法一:設(shè)B(x0,y0)(y0>0),則x022+y02=1,
因?yàn)辄c(diǎn)B,C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則C(-x0,-y0),
所以k1•k2=y0+1x0•y0+1x0=y02−1x02=−x022x02=−12.(6分)
證法二:直線AC的方程為y=k1x+1,
由{x22+y2=1y=k1x+1得(1+2k21)x2+4k1x=0,
解得xC=−4k12k12+1,同理xB=−4k22k22+1,
因?yàn)锽,O,C三點(diǎn)共線,則由xC+xB=−4k12k12+1−4k22k22+1=0,
整理得(k1+k2)(2k1k2+1)=0,
所以k1•k2=−12.(6分)
②直線AC的方程為y=k1x+1,直線AB的方程為y=k2x+1,不妨設(shè)k1>0,則k2<0,
令y=2,得E(1k2,2),F(xiàn)(1k1,2),
而yC=k1xC+1=−4k122k12+1+1=−2k12+12k12+1,
所以,△CEF的面積S△CEF=12×|EF|×(2−yC)=12(1k1−1k2)(2+2k12−12k12+1)
=12•k2−k1k1k2•6k12+12k12+1.(8分)
由k1•k2=−12得k2=−12k1,
則S△CEF=2k12+12k1•6k12+12k12+1=3k1+12k1≥√6,當(dāng)且僅當(dāng)k1=√66取得等號(hào),
所以△CEF的面積的最小值為√6.(12分)
點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、項(xiàng)斜率計(jì)算公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.
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A. | 540 | B. | -540 | C. | 135 | D. | -135 |
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A. | 求24名男生的達(dá)標(biāo)率 | B. | 求24名男生的不達(dá)標(biāo)率 | ||
C. | 求24名男生的達(dá)標(biāo)人數(shù) | D. | 求24名男生的不達(dá)標(biāo)人數(shù) |
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A. | 點(diǎn)D不在直線BC上 | B. | 點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上 | ||
C. | 點(diǎn)D在線段BC上 | D. | 點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上 |
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