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10.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓Ω:x2a2+y2b2=1ab0的離心率為22,直線l:y=2上的點(diǎn)和橢圓Ω上的點(diǎn)的距離的最小值為1.
(Ⅰ) 求橢圓Ω的方程;
(Ⅱ) 已知橢圓Ω的上頂點(diǎn)為A,點(diǎn)B,C是Ω上的不同于A的兩點(diǎn),且點(diǎn)B,C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,直線AB,AC分別交直線l于點(diǎn)E,F(xiàn).記直線AC與AB的斜率分別為k1,k2
①求證:k1•k2為定值;
②求△CEF的面積的最小值.

分析 (Ⅰ)由題知b=1,由a2b2a=22,b=1,聯(lián)立解出即可得出.
(Ⅱ)①證法一:設(shè)B(x0,y0)(y0>0),則x022+y02=1,因?yàn)辄c(diǎn)B,C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則C(-x0,-y0),利用斜率計(jì)算公式即可得出.
證法二:直線AC的方程為y=k1x+1,與橢圓方程聯(lián)立可得坐標(biāo),即可得出.
②直線AC的方程為y=k1x+1,直線AB的方程為y=k2x+1,不妨設(shè)k1>0,則k2<0,令y=2,得E(\frac{1}{k_2},\;2),F(xiàn)(\frac{1}{k_1},\;2),可得△CEF的面積{S_{△CEF}}=\frac{1}{2}×|EF|×(2-{y_C})

解答 解:(Ⅰ)由題知b=1,由\frac{{\sqrt{{a^2}-{b^2}}}}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}
所以a2=2,b2=1.
故橢圓的方程為\frac{x^2}{2}+{y^2}=1. (3分)
(Ⅱ)①證法一:設(shè)B(x0,y0)(y0>0),則\frac{{{x_0}^2}}{2}+{y_0}^2=1,
因?yàn)辄c(diǎn)B,C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則C(-x0,-y0),
所以{k_1}•{k_2}=\frac{{{y_0}+1}}{x_0}•\frac{{{y_0}+1}}{x_0}=\frac{{{y_0}^2-1}}{{{x_0}^2}}=\frac{{-\frac{{{x_0}^2}}{2}}}{{{x_0}^2}}=-\frac{1}{2}.(6分)
證法二:直線AC的方程為y=k1x+1,
\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+{y^2}=1\\ y={k_1}x+1\end{array}\right.(1+2k_1^2){x^2}+4{k_1}x=0,
解得{x_C}=-\frac{{4{k_1}}}{{2{k_1}^2+1}},同理{x_B}=-\frac{{4{k_2}}}{{2{k_2}^2+1}},
因?yàn)锽,O,C三點(diǎn)共線,則由{x_C}+{x_B}=-\frac{{4{k_1}}}{{2{k_1}^2+1}}-\frac{{4{k_2}}}{{2{k_2}^2+1}}=0,
整理得(k1+k2)(2k1k2+1)=0,
所以{k_1}•{k_2}=-\frac{1}{2}.(6分)
②直線AC的方程為y=k1x+1,直線AB的方程為y=k2x+1,不妨設(shè)k1>0,則k2<0,
令y=2,得E(\frac{1}{k_2},\;2),F(xiàn)(\frac{1}{k_1},\;2)
{y_C}={k_1}{x_C}+1=-\frac{{4{k_1}^2}}{{2{k_1}^2+1}}+1=\frac{{-2{k_1}^2+1}}{{2{k_1}^2+1}},
所以,△CEF的面積{S_{△CEF}}=\frac{1}{2}×|EF|×(2-{y_C})=\frac{1}{2}(\frac{1}{k_1}-\frac{1}{k_2})(2+\frac{{2{k_1}^2-1}}{{2{k_1}^2+1}})
=\frac{1}{2}•\frac{{{k_2}-{k_1}}}{{{k_1}{k_2}}}•\frac{{6{k_1}^2+1}}{{2{k_1}^2+1}}.(8分)
{k_1}•{k_2}=-\frac{1}{2}{k_2}=-\frac{1}{{2{k_1}}}
則S△CEF=\frac{{2{k_1}^2+1}}{{2{k_1}}}•\frac{{6{k_1}^2+1}}{{2{k_1}^2+1}}=3{k_1}+\frac{1}{{2{k_1}}}≥\sqrt{6},當(dāng)且僅當(dāng){k_1}=\frac{{\sqrt{6}}}{6}取得等號(hào),
所以△CEF的面積的最小值為\sqrt{6}.(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、項(xiàng)斜率計(jì)算公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.

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