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10.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓Ω:x2a2+y2b2=1ab0的離心率為22,直線l:y=2上的點(diǎn)和橢圓Ω上的點(diǎn)的距離的最小值為1.
(Ⅰ) 求橢圓Ω的方程;
(Ⅱ) 已知橢圓Ω的上頂點(diǎn)為A,點(diǎn)B,C是Ω上的不同于A的兩點(diǎn),且點(diǎn)B,C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,直線AB,AC分別交直線l于點(diǎn)E,F(xiàn).記直線AC與AB的斜率分別為k1,k2
①求證:k1•k2為定值;
②求△CEF的面積的最小值.

分析 (Ⅰ)由題知b=1,由a2b2a=22,b=1,聯(lián)立解出即可得出.
(Ⅱ)①證法一:設(shè)B(x0,y0)(y0>0),則x022+y02=1,因?yàn)辄c(diǎn)B,C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則C(-x0,-y0),利用斜率計(jì)算公式即可得出.
證法二:直線AC的方程為y=k1x+1,與橢圓方程聯(lián)立可得坐標(biāo),即可得出.
②直線AC的方程為y=k1x+1,直線AB的方程為y=k2x+1,不妨設(shè)k1>0,則k2<0,令y=2,得E1k22F(xiàn)1k12,可得△CEF的面積SCEF=12×|EF|×2yC

解答 解:(Ⅰ)由題知b=1,由a2b2a=22
所以a2=2,b2=1.
故橢圓的方程為x22+y2=1. (3分)
(Ⅱ)①證法一:設(shè)B(x0,y0)(y0>0),則x022+y02=1,
因?yàn)辄c(diǎn)B,C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則C(-x0,-y0),
所以k1k2=y0+1x0y0+1x0=y021x02=x022x02=12.(6分)
證法二:直線AC的方程為y=k1x+1,
{x22+y2=1y=k1x+11+2k21x2+4k1x=0,
解得xC=4k12k12+1,同理xB=4k22k22+1,
因?yàn)锽,O,C三點(diǎn)共線,則由xC+xB=4k12k12+14k22k22+1=0,
整理得(k1+k2)(2k1k2+1)=0,
所以k1k2=12.(6分)
②直線AC的方程為y=k1x+1,直線AB的方程為y=k2x+1,不妨設(shè)k1>0,則k2<0,
令y=2,得E1k22F(xiàn)1k12
yC=k1xC+1=4k122k12+1+1=2k12+12k12+1,
所以,△CEF的面積SCEF=12×|EF|×2yC=121k11k22+2k1212k12+1
=12k2k1k1k26k12+12k12+1.(8分)
k1k2=12k2=12k1
則S△CEF=2k12+12k16k12+12k12+1=3k1+12k16,當(dāng)且僅當(dāng)k1=66取得等號(hào),
所以△CEF的面積的最小值為6.(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、項(xiàng)斜率計(jì)算公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.

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