Question

8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cosα}\\{y=\sqrt{3}sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），將曲線C₁上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的$\frac{1}{2}$，縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的$\frac{\sqrt{3}}{3}$，得到曲線C₂，在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為4ρsin（θ+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$=0．
（1）求曲線C₂的極坐標(biāo)方程及直線l與曲線C₂交點(diǎn)的極坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)P為曲線C₁上的任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l的距離的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式把直線l的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程．利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系消去α，把曲線的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，再求出交點(diǎn)的極坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)P（1+2cosα，$\sqrt{3}$sinα），求得點(diǎn)P到直線l的距離，由此求得d的最大值．

解答 解：（1）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cosα}\\{y=\sqrt{3}sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），
可得曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}+cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），
利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系消去α，
可得x²+y²-x-$\frac{3}{4}$=0，極坐標(biāo)方程為ρ²-ρcosθ-$\frac{3}{4}$=0
直線l的極坐標(biāo)方程為4ρsin（θ+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$=0，即4ρ（$\frac{1}{2}$sinθ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ）+$\sqrt{3}$=0，
即2$\sqrt{3}$x+2y+$\sqrt{3}$=0．
聯(lián)立方程可得交點(diǎn)坐標(biāo)（-$\frac{1}{2}$，0），（0，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
極坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，π），（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3π}{2}$）；
（2）設(shè)P（1+2cosα，$\sqrt{3}$sinα），
則點(diǎn)P到直線l的距離d=$\frac{|2\sqrt{15}sin（α+θ）+3\sqrt{3}|}{4}$（tanθ=2），
∴點(diǎn)P到直線l的距離的最大值為$\frac{2\sqrt{15}+3\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查把極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，點(diǎn)到直線的距離公式、輔助角公式的應(yīng)用，屬于中檔題．