Question

2．如圖所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥平面A₁B₁C₁，AC=CB=CC₁=2，∠ACB=90°，D、E分別是A₁B₁、CC₁的中點．
（1）求證：C₁D∥平面A₁BE；
（2）求直線BC₁與平面A₁BE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明C₁D∥平面A₁BE．
（2）求出平面A₁BE的法向量，利用向量法能求出直線BC₁與平面A₁BE所成角的正弦值．

解答 證明：（1）∵在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥平面A₁B₁C₁，AC=CB=CC₁=2，
∠ACB=90°，D、E分別是A₁B₁、CC₁的中點，
∴以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則C₁（0，0，2），A₁（2，0，2），B（0，2，0），E（0，0，1），B₁（0，2，2），D（1，1，2），
$\overrightarrow{{C}_{1}D}$=（1，1，0），$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（-2，2，-2），$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（-2，0，-1），
設(shè)平面A₁BE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}B}=-2x+2y-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}E}=-2x-z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-2），
∵$\overrightarrow{{C}_{1}D}$•$\overrightarrow{n}$=1-1+0=0，C₁D?平面A₁BE，
∴C₁D∥平面A₁BE．
解：（2）C₁（0，0，2），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（0，-2，2），
平面A₁BE的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-2），
設(shè)直線BC₁與平面A₁BE所成角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{B{C}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{B{C}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|0+2-4|}{\sqrt{4+4}•\sqrt{1+1+4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∴直線BC₁與平面A₁BE所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．