分析 (a-c)2+(b-d)2的幾何意義是點(b,a)到點(d,c)的距離的平方,而點(b,a)在曲線y=3x-ln(x+1)上,點(d,c)在直線y=2x+√5上.故(a-c)2+(b-d)2的最小值就是曲線上與直線y=2x+√5平行的切線到該直線的距離的平方.利用導(dǎo)數(shù)求出曲線上斜率為2的切線方程,再利用兩平行直線的距離公式即可求出最小值.
解答 解:由ln(b+1)+a-3b=0,得a=3b-ln(b+1),則點(b,a)是曲線y=3x-ln(x+1)上的任意一點,
由2d-c+√5=0,得c=2d+√5,則點(d,c)是直線y=2x+√5上的任意一點,
因為(a-c)2+(b-d)2表示點(b,a)到點(d,c)的距離的平方,即曲線上的一點與直線上一點的距離的平方,
所以(a-c)2+(b-d)2的最小值就是曲線上的點到直線距離的最小值的平方,即曲線上與直線y=2x+√5平行的切線到該直線的距離的平方.
y'=3x+2x+1,令y'=2,得x=0,此時y=0,即過原點的切線方程為y=2x,
則曲線上的點到直線距離的最小值的平方hbuthwq2=(√5√4+1)2=1.
故答案為:1.
點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義和兩平行線之間的距離公式,關(guān)鍵是弄清所要求表達式的幾何意義以及構(gòu)造曲線和直線,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 2015 | B. | 2016 | C. | 2017 | D. | 2018 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | an=12n | B. | an=n12 | C. | an=(12)n | D. | an=2n |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
排隊人數(shù) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5人以上 |
概率 | 0.1 | 0.15 | 0.3 | 0.31 | 0.1 | 0.04 |
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