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1.已知實數(shù)a,b滿足ln(b+1)+a-3b=0,實數(shù)c,d滿足2dc+5=0,則(a-c)2+(b-d)2的最小值為1.

分析 (a-c)2+(b-d)2的幾何意義是點(b,a)到點(d,c)的距離的平方,而點(b,a)在曲線y=3x-ln(x+1)上,點(d,c)在直線y=2x+5上.故(a-c)2+(b-d)2的最小值就是曲線上與直線y=2x+5平行的切線到該直線的距離的平方.利用導(dǎo)數(shù)求出曲線上斜率為2的切線方程,再利用兩平行直線的距離公式即可求出最小值.

解答 解:由ln(b+1)+a-3b=0,得a=3b-ln(b+1),則點(b,a)是曲線y=3x-ln(x+1)上的任意一點,
由2d-c+5=0,得c=2d+5,則點(d,c)是直線y=2x+5上的任意一點,
因為(a-c)2+(b-d)2表示點(b,a)到點(d,c)的距離的平方,即曲線上的一點與直線上一點的距離的平方,
所以(a-c)2+(b-d)2的最小值就是曲線上的點到直線距離的最小值的平方,即曲線上與直線y=2x+5平行的切線到該直線的距離的平方.
y'=3x+2x+1,令y'=2,得x=0,此時y=0,即過原點的切線方程為y=2x,
則曲線上的點到直線距離的最小值的平方hbuthwq2=54+12=1.
故答案為:1.

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義和兩平行線之間的距離公式,關(guān)鍵是弄清所要求表達式的幾何意義以及構(gòu)造曲線和直線,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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