Question

9．一次測(cè)試中，每位考生要在8道測(cè)試題中隨機(jī)抽出3道題問答，答對(duì)其中兩道題即為合格．甲、乙、丙三人分別參加測(cè)試，每個(gè)人參加測(cè)試都是相互獨(dú)立的，且三人都恰好會(huì)答8道題中的3道題．
（1）求甲考生在一次測(cè)試中合格的概率；
（2）求三個(gè)人中恰有一人合格的概率；
（3）記X表示三個(gè)人參加測(cè)試獲得合格的冉姝，寫出X的分布列并求數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，計(jì)算甲考生在一次測(cè)試中合格的概率值；
（2）計(jì)算每個(gè)人參加測(cè)試合格的概率值，由獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)的概率計(jì)算公式求出三個(gè)人中恰有一人合格的概率；
（3）由X～B（3，$\frac{2}{7}$）求出X的分布列與數(shù)學(xué)期望值．

解答 解：（1）設(shè)事件A：“甲考生在一次測(cè)試中合格”，
則P（A）=$\frac{{C}_{3}^{2}{•C}_{5}^{1}{+C}_{3}^{3}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{2}{7}$，
即甲考生在一次測(cè)試中合格的概率為$\frac{2}{7}$；
（2）設(shè)事件B：“三個(gè)人中恰有一人合格”，
每個(gè)人參加測(cè)試合格的概率為$\frac{2}{7}$，
且都是相互獨(dú)立的；
所以P（B）=${C}_{3}^{1}$•$\frac{2}{7}$•${（\frac{5}{7}）}^{2}$=$\frac{150}{343}$；
即三個(gè)人中恰有一人合格的概率為$\frac{150}{343}$；
（3）根據(jù)題意，X的可能取值為0，1，2，3；
且X～B（3，$\frac{2}{7}$）；
所以P（X=0）=${C}_{3}^{0}$•${（1-\frac{2}{7}）}^{3}$=$\frac{125}{343}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}$•$\frac{2}{7}$×${（1-\frac{2}{7}）}^{2}$=$\frac{150}{343}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}$•${（\frac{2}{7}）}^{2}$×（1-$\frac{2}{7}$）=$\frac{60}{343}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}$•${（\frac{2}{7}）}^{3}$=$\frac{8}{343}$；
寫出X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{125}{343}$	$\frac{150}{343}$	$\frac{60}{343}$	$\frac{8}{343}$

所以X的數(shù)學(xué)期望為E（X）=0×$\frac{125}{343}$+1×$\frac{150}{343}$+2×$\frac{60}{343}$+3×$\frac{8}{343}$=$\frac{6}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與期望的計(jì)算問題，是基礎(chǔ)題目．