Question

2．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形，∠DAB=60°，AB=2AD=2，PD⊥平面ABCD
（1）求證：AD⊥PB；
（2）若BD與平面PBC的所成角為30°，求三棱錐P-BCD的體積．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理得BD²=3，從而AB²=AD²+BD²，進而AD⊥BD，由PD⊥平面ABCD，得PD⊥AD，由此能證明AD⊥平面PBD，從而AD⊥PB．
（2）過D作DE⊥PB，垂足為E，推導(dǎo)出BC⊥平面PBD，從而DE⊥平面PBC，由此能求出三棱錐P-BCD的體積．

解答 證明：（1）在△ABD中，∠DAB=60°，AB=2AD=2，
由余弦定理得BD²=AB²+AD²-2AB•ADcos∠DAB=3，
∴AB²=AD²+BD²，∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BD，
∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD，
∴AD⊥平面PBD，∴AD⊥PB．
解：（2）過D作DE⊥PB，垂足為E，
∵ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，
∴由（1）得AD⊥平面PBD，∴BC⊥平面PBD，
∴平面PBC⊥平面PBD，∴DE⊥平面PBC，
∴BD與平面PBC所成角為∠DBE=30°，
由（1）得BD=$\sqrt{3}$，DP=BD•tan∠DBE=1，
∴三棱錐P-BCD的體積：
${V}_{P-BCD}=\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•DP=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×BD×BC×DP$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點評 本題考查線線垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．