Question

19．設(shè)F₁、F₂為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，已知點(diǎn)P在此雙曲線上，且∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$．若此雙曲線的離心率等于$\frac{\sqrt{6}}{2}$，則|PF₁|+|PF₂|=4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線的離心率，求出a的值，結(jié)合雙曲線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：∵雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{2}=1$的離心率等于$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
∴e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}+2}{{a}^{2}}=\frac{3}{2}$，∴a=2，c=$\sqrt{6}$．
設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，
則|m-n|=2a=4，
則由余弦定理可得24=m²+n²-mn，∴24=（m-n）²+mn=16+mn，
即mn=8．
則（m+n）²=（m-n）²+4mn=4a²+4mn=16+4×8=48，
則m+n=$\sqrt{48}$=4$\sqrt{3}$，
故答案為：4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，根據(jù)雙曲線的離心率求出a的值，結(jié)合雙曲線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．