Question

12．已知x、y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{x+y-3≥0}\\{x≤2}\end{array}\right.$，若x²+y²的最大值為m，最小值為n，則mx+ny的最小值為22．

Answer 1

分析 作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用點到直線的距離公式以及直線的截距的幾何意義進行轉化求解即可．

解答 解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖，
x²+y²的幾何意義是區(qū)域內的點到原點的距離的平方，
由圖象知O到直線x+y-3=0的距離最小，
此時d=$\frac{|-3|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3}{\sqrt{2}}$，
則d²=$\frac{9}{2}$，即n=$\frac{9}{2}$，
OA的距離最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{x-y+1=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$，即A（2，3），
則m=2²+3²=4+9=13，
則設z=mx+ny=13x+$\frac{9}{2}$y，
即y=-$\frac{26}{9}$x+$\frac{2}{9}$z，
平移直線y=-$\frac{26}{9}$x+$\frac{2}{9}$z，
由圖象知當直線經過點B時，直線的截距最小，此時z最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0}\\{x+y-3=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，即B（1，2），
此時z=13×1+$\frac{9}{2}$×2=13+9=22，
故答案為：22．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應用，結合點到直線的距離公式求出距離的最小值和最大值，以及利用直線的截距的幾何意義是解決本題的關鍵．