2.已知y2=4x拋物線,焦點記為F,過點F作直線l交拋物線于A,B兩點,則$|{AF}|-\frac{2}{{|{BF}|}}$的最小值為( 。
A.$2\sqrt{2}-2$B.$\frac{5}{6}$C.$3-\frac{3}{2}\sqrt{2}$D.$2\sqrt{3}-2$

分析 設(shè)直線AB的方程,代入拋物線方程,根據(jù)韋達(dá)定理及拋物線的焦半徑公式,求得$|{AF}|-\frac{2}{{|{BF}|}}$=$\frac{{x}_{1}^{2}+1}{{x}_{1}+1}$,x1>0,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,即可求得答案.

解答 解:由題意知,拋物線y2=4x的焦點坐標(biāo)為(1,0),
當(dāng)斜率k存在時,設(shè)直線AB的方程為y=k(x-1),設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=k(x-1)}\end{array}\right.$,整理得:k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
則 x1+x2=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$,x1x2=1,則x2=$\frac{1}{{x}_{1}}$,
根據(jù)拋物線性質(zhì)可知,|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,
$|{AF}|-\frac{2}{{|{BF}|}}$=(x1+1)-$\frac{2}{{x}_{2}+1}$=(x1+1)-$\frac{2{x}_{1}}{{x}_{1}+1}$=$\frac{{x}_{1}^{2}+1}{{x}_{1}+1}$,x1>0,
設(shè)f(x)=$\frac{{x}^{2}+1}{x+1}$,x>0,求導(dǎo)f′(x)=$\frac{{x}^{2}+2x-1}{(x+1)^{2}}$,令f′(x)=0,則x2+2x-1=0,解得:x=$\sqrt{2}$-1,
當(dāng)x∈(0,$\sqrt{2}$-1),f′(x)<0,當(dāng)x∈($\sqrt{2}$-1,+∞),f′(x)>0,
∴f(x)在(0,$\sqrt{2}$-1)單調(diào)遞減,在($\sqrt{2}$-1,+∞)單調(diào)遞增,
∴當(dāng)x=$\sqrt{2}$-1,f(x)取最小值,最小值為2$\sqrt{2}$-2,
∴$|{AF}|-\frac{2}{{|{BF}|}}$最小值為2$\sqrt{2}$-2,
故選:A.

點評 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理,弦長公式,考查函數(shù)單調(diào)性與圓錐曲線的應(yīng)用,考查計算能力,屬于中檔題.

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