Question

17．設(shè)雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，以F₁F₂為直徑的圓與雙曲線左支的一個(gè)交點(diǎn)為P，若以O(shè)F₁（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直徑的圓與PF₂相切，則雙曲線C的離心率為（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{-3+6\sqrt{2}}{4}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{3+6\sqrt{2}}{7}$

Answer 1

分析 設(shè)F₁N=ON=MN=r，則OF₂=2r，根據(jù)勾股定理NF₂=2$\sqrt{2}$r，再利用相似三角形和雙曲線的離心率公式即可求得

解答 解：設(shè)F₁N=ON=MN=r，
則OF₂=2r，
根據(jù)勾股定理NF₂=2$\sqrt{2}$r，
又△MF₂N∽△PF₁F₂，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2c}{2a}$=$\frac{{F}_{1}{F}_{2}}{P{F}_{2}-P{F}_{1}}$=$\frac{N{F}_{2}}{M{F}_{2}-MN}$=$\frac{3r}{2\sqrt{2}r-r}$=$\frac{6\sqrt{2}+3}{7}$，
故選：D

點(diǎn)評(píng) 此題要求學(xué)生掌握定義：到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差等于|2a|的點(diǎn)所組成的圖形即為雙曲線．考查了數(shù)形結(jié)合思想、本題凸顯解析幾何的特點(diǎn)：“數(shù)研究形，形助數(shù)”，利用幾何性質(zhì)可尋求到簡(jiǎn)化問(wèn)題的捷徑．