Question

3．設函數f（x）=2x³+3ax²+3bx在x=1及x=2時取得極值．
（1）求a、b的值；
（2）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（3）求函數f（x）在區(qū)間[0，4]的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，得到關于a，b的方程組，解出即可；
（2）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區(qū)間即可；
（3）根據函數的單調性求出函數的最大值和最小值即可．

解答 解：（1）f′（x）=6x²+6ax+3b，
∵函數在x=1及x=2時取得極值，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=6+6a+3b=0}\\{f′（2）=24+12a+3b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=4}\end{array}\right.$；
（2）由（1）得f（x）=2x³-9x²+12x，
f′（x）=6（x²-3x+2），
令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜1，
令f′（x）＜0，解得：1＜x＜2，
故f（x）在（-∞，1）遞增，在（1，2）遞減，在（2，+∞）遞增；
（3）由（2）得函數在x=1，x=2處取得極值，
故f（0）=0，f（1）=5，f（2）=4，f（4）=32，
故函數f（x）的最大值是32，最小值是0．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用，是一道中檔題．