Question

18．已知函數(shù)f（x）=|2x-a|-|x|，a∈R
（1）當(dāng)a=2時(shí)，解關(guān)于的不等式f（x）＞1；
（2）若f（x）≥4-|2x+a|-|x|對(duì)?x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將a的值代入f（x），通過(guò)討論x的范圍，求出各個(gè)區(qū)間上的不等式否定解集，取并集即可；
（2）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為$|{x-\frac{a}{2}}|+|{x+\frac{a}{2}}|≥2$恒成立，求出a的范圍即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，|2x-2|-|x|＞1．
當(dāng)x＜0時(shí)，-2x+2+x＞1，∴x＜1，∴x＜0
當(dāng)0≤x＜1時(shí)，-2x+2-x＞1，∴$0≤x＜\frac{1}{3}$；
當(dāng)x≥1時(shí)，2x-2-x＞1，∴x＞3
故所求不等式的解集為$（{-∞，\frac{1}{3}}）∪（{3，+∞}）$…（5分）
（2）由f（x）≥4-|2x+a|-|x|得|2x-a|+|2x+a|≥4恒成立，
即$|{x-\frac{a}{2}}|+|{x+\frac{a}{2}}|≥2$恒成立，∴|a|≥2，
故實(shí)數(shù)的取值范圍為（-∞，-2]∪[2，+∞）…..（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問(wèn)題，考查分類討論思想以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．