Question

8．P為雙曲線$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$右支上一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，且$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=0$，直線PF₂交y軸于點(diǎn)A，則△AF₁P的內(nèi)切圓半徑為（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{13}}}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得a的值，設(shè)△APF₁的內(nèi)切圓半徑為r，由直角三角形的性質(zhì)分析可得|PF₁|+|PA|-|AF₁|=2r，由雙曲線的幾何性質(zhì)分析|AF₂|-|AF₁|=2r-6，由圖形的對(duì)稱性知2r-6=0，即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，雙曲線的方程$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$，其中a=$\sqrt{9}$=3，
設(shè)△APF₁的內(nèi)切圓半徑為r，∵PF₁⊥PF₂，
∴|PF₁|+|PA|-|AF₁|=2r，
∴|PF₂|+2a+|PA|-|AF₁|=2r，
∴|AF₂|-|AF₁|=2r-6，
∵由圖形的對(duì)稱性知：|AF₂|=|AF₁|，
即2r-6=0，解可得r=3，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，雙曲線的定義，注意直角三角形的內(nèi)切圓公式．