Question

2．在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別是a，b，c，cosC=$\frac{1}{9}$，且acosB+bcosA=2，則△ABC面積的最大值為$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 利用余弦定理分別表示出cosB和cosA，代入到已知的等式中，化簡(jiǎn)后即可求出c的值，然后利用余弦定理表示出c²=a²+b²-2abcosC，把c及cosC的值代入后，利用基本不等式即可求出ab的最大值，然后由cosC的值，及C的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinC的值，利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，把a(bǔ)b的最大值及sinC的值代入即可求出面積的最大值．

解答 （本題滿(mǎn)分為12分）
解：∵acosB+bcosA=2，
∴a×$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$+b×$\frac{{c}^{2}+^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=2，
∴c=2，…（6分）
∴4=a²+b²-2ab×$\frac{1}{9}$≥2ab-2ab×$\frac{1}{9}$=$\frac{16}{9}$ab，
∴ab≤$\frac{9}{4}$（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=$\frac{3}{2}$時(shí)等號(hào)成立）…（8分）
由cosC=$\frac{1}{9}$，得sinC=$\frac{4\sqrt{5}}{9}$，…（10分）
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC≤$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{4}$×$\frac{4\sqrt{5}}{9}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故△ABC的面積最大值為$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{5}}{2}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 此題考查了基本不等式，余弦定理及三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．