Question

20．已知a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊，sin²B=2sinAsinC，且a＞c，cosB=$\frac{1}{4}$，則$\frac{c}{a}$=（　�。�

• A． 2
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 3
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 由正弦定理將sin²B=2sinAsinC，轉(zhuǎn)換成b²=2ac，根據(jù)余弦定理化簡得：a²+c²-$\frac{5}{2}$ac=0，同除以a²，解方程得$\frac{c}{a}$的值，根據(jù)條件判斷$\frac{c}{a}$的值從而得解．

解答 解：三角形ABC中，sin²B=2sinAsinC，由正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$，
得：b²=2ac，
由余弦定理：b²=a²+c²-2accosB，
即：a²+c²-$\frac{5}{2}$ac=0，等號兩端同除以a²，
得：1+（$\frac{c}{a}$）²-$\frac{5}{2}$•$\frac{c}{a}$=0，
令t=$\frac{c}{a}$，t＞0，則可得：t²-$\frac{5}{2}$t+1=0，
解得：t=2，或$\frac{1}{2}$，
由于：a＞c，
可得：t=$\frac{1}{2}$，即$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$．
故選：B．

點評 本題考查正弦定理、余弦定理與一元二次方程相結(jié)合，計算過程簡單，屬于基礎(chǔ)題．