Question

8．已知函數(shù)f（x）=ax-1-lnx（a∈R）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線在點(diǎn)（1，0）處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間$[{\frac{1}{2}，2}]$上的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)與曲線斜率的公式即可求得結(jié)論；（2）分類討論，利用導(dǎo)數(shù)即可求得函數(shù)的最小值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
當(dāng)a=1時(shí)，f′（x）=1-$\frac{1}{x}$，則f'（1）=0，故曲線在點(diǎn)（1，0）處的切線為y=0．
（2）f′（x）=$\frac{ax-1}{x}$（x＞0），則：
①當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＜0，
此時(shí)f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上單減，故f（x）_min=f（2）=2a-1-ln2
②當(dāng)a＞0時(shí)，
（Ⅰ）0＜$\frac{1}{a}$≤$\frac{1}{2}$，即a≥2，f（x）在上單增，故f（x）min=f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{a}{2}$-1+ln2；
（Ⅱ）$\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{a}$＜2，即$\frac{1}{2}$＜a＜2，f（x）在[$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{a}$）單減，在[$\frac{1}{a}$，2]單增，故f（x）min=f（$\frac{1}{a}$）=lna．
（Ⅲ）$\frac{1}{a}$≥2，即0＜a≤$\frac{1}{2}$，f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上單減，故f（x）_min=f（2）=2a-1-ln2，
綜上f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{2a-1-ln2，a≤\frac{1}{2}}\\{lna，\frac{1}{2}＜a＜2}\\{\frac{a}{2}-1+ln2，a≥2}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線方程及判斷函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值等知識(shí)，考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力及分類討論思想轉(zhuǎn)化劃歸思想的運(yùn)用能力．