Question

7．已知直線y=k（x+1）（k＞0）與拋物線C：y²=4x相交于A，B兩點(diǎn)，O、F分別為C的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)，若$\overrightarrow{OA}$=λ$\overrightarrow{FB}$（λ∈R），則k=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 由題意，A是OB的中點(diǎn)．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．聯(lián)立方程化為k²x²+（2k²-4）x+k²=0，（k＞0）．可得根與系數(shù)的關(guān)系，利用焦點(diǎn)弦與拋物線的定義可得：|FA|=x₁+1，|FB|=x₂+1，利用|FB|=2|FA|，聯(lián)立解出即可．

解答 解：由題意，A是OB的中點(diǎn)．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立直線y=k（x+1）（k＞0）與拋物線C：y²=4x，
化為k²x²+（2k²-4）x+k²=0，（k＞0）．
∴x₁+x₂=$\frac{4}{{k}^{2}}$-2①，x₁x₂=1②．
∵A是OB的中點(diǎn)，
∴|FB|=2|FA|，|FA|=x₁+1，|FB|=x₂+1，
∴x₂+1=2（x₁+1）③，
化為x₂=2x₁+1．
聯(lián)立①②③，解得k=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
故答案為$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．