Question

20．已知函數(shù)f（x）=xlnx+ax+b在（1，f（1））處的切線為2x-2y-1=0．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間與最小值；
（2）求證：${e^x}+lnx＞cosx+\frac{sinx-1}{x}$．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，計算f′（1），f（1）求出a，b的值，求出函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值即可；
（2）令g（x）=x-sinx，x＞0，得到當x＞0時，x＞sinx，令h（x）=e^x-x-1，x＞0，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性將問題轉(zhuǎn)化為只需證$x+1+lnx＞2-\frac{1}{x}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 解：（1）f'（x）=1+lnx+a，
故f'（1）=1+a=1，得a=0，又2-2f（1）-1=0，
所以$f（1）=a+b=\frac{1}{2}$，得$b=\frac{1}{2}$．
則$f（x）=xlnx+\frac{1}{2}$，f'（x）=1+lnx，
當$x∈（{0，\frac{1}{e}}]$時，f'（x）≤0，f（x）單調(diào)遞減；
當$x∈（{\frac{1}{e}，+∞}）$時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
所以$f{（{\frac{1}{e}}）_{min}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{e}$．
（2）證明：令g（x）=x-sinx，x＞0，g'（x）=1-cosx≥0，g（x）遞增，
所以g（x）＞g（0）=0，所以當x＞0時，x＞sinx，
令h（x）=e^x-x-1，x＞0，h'（x）=e^x-1≥0，h（x）遞增，
h（x）＞h（0）=0，所以當x＞0時，e^x＞x+1，
要證${e^x}+lnx＞cosx+\frac{sinx-1}{x}$，由-1≤cosx≤1，x＞sinx，及e^x＞x+1，
得，${e^x}+lnx＞x+1+lnx，cosx+\frac{sinx-1}{x}＜1+1-\frac{1}{x}$，故原不等式成立，
只需證$x+1+lnx＞2-\frac{1}{x}$，
即證x²-x+1+xlnx＞0．由（1）可得$xlnx≥-\frac{1}{e}$，且${x^2}-x+1≥\frac{3}{4}$，
所以${x^2}-x+1+xlnx＞\frac{3}{4}-\frac{1}{e}＞0$，則原不等式成立．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及函數(shù)恒成立問題，考查不等式的證明，是一道綜合題．