Question

14．當(dāng)x∈（-$\frac{1}{2}$，1）時，不等式ax²-（a+1）x+1＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 分①當(dāng)a=0時，②當(dāng)a＞0時，③當(dāng)a＜0時三種情況，分別利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求得實數(shù)a的取值范圍，綜合可得結(jié)論．

解答 解：由題意可得不等式ax²-（a+1）x+1＞0的解集包含區(qū)間（-$\frac{1}{2}$，1）．
①當(dāng)a=0時，不等式即x+1＞0，當(dāng)x∈（-$\frac{1}{2}$，1）時，顯然此不等式成立．
②當(dāng)a＞0時，不等式即a（x-$\frac{1}{a}$）•（x-1）＞0，
由于f（x）=a（x-$\frac{1}{a}$）•（x-1）的圖象開口向上，和x軸的交點的橫坐標(biāo)分別為1和$\frac{1}{a}$，
要使當(dāng)x∈（-$\frac{1}{2}$，1）時，f（x）＞0恒成立，∴$\frac{1}{a}$≥1，∴0＜a≤1．
③當(dāng)a＜0時，不等式即a（x-$\frac{1}{a}$）•（x-1）＞0，
由于f（x）=a（x-$\frac{1}{a}$）•（x-1）的圖象開口向下，和x軸的交點的橫坐標(biāo)分別為1和$\frac{1}{a}$，
要使當(dāng)x∈（-$\frac{1}{2}$，1）時，f（x）＞0恒成立，∴$\frac{1}{a}$≤-$\frac{1}{2}$，∴-2≤a＜0．
綜上可得，-2≤a≤1．

點評 本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．