Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x⁴-2x³+3m（x∈R），若f（x）+6≥0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． m≥$\frac{5}{2}$
• B． m＞$\frac{5}{2}$
• C． m≤$\frac{5}{2}$
• D． m＜$\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 要找m的取值使f（x）+6≥0恒成立，思路是求出f′（x）并令其等于零找出函數(shù)的駐點(diǎn)，得到函數(shù)f（x）的最小值，使最小值大于等于-6即可求出m的取值范圍．

解答 解析：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x⁴-2x³+3m，
所以f′（x）=2x³-6x²，
令f′（x）=0，得x=0或x=3，
經(jīng)檢驗(yàn)知x=3是函數(shù)的一個(gè)最小值點(diǎn)，
所以函數(shù)的最小值為f（3）=3m-$\frac{27}{2}$，
因?yàn)椴坏仁絝（x）+6≥0恒成立，即f（x）≥-6恒成立，
所以3m-$\frac{27}{2}$≥-6，解得m≥$\frac{5}{2}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值、函數(shù)恒成立問(wèn)題等等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．