Question

13．若函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{e^x}-ax\;\;\;\;\;\;\;（x≥0）\\ x+\frac{1}{x}-a\;\;\;\;（x＜0）\end{array}\right.$沒有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-2，e）．

Answer 1

分析 利用分段函數(shù)，分別求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，通過a的討論以及函數(shù)的極值，求解即可．

解答 解：當(dāng)x＜0時(shí)，$f（x）=x+\frac{1}{x}-a，\;f'（x）=1-\frac{1}{x^2}=\frac{（x+1）（x-1）}{x^2}$，
當(dāng)x∈（-∞，-1）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
所以當(dāng)x=-1時(shí)，f（x）取得極大值f（-1）=-2-a，根據(jù)題意，-2-a＜0，a＞-2；
當(dāng)x≥0時(shí)，f'（x）=e^x-a，當(dāng)a∈（-2，1]時(shí)，f'（x）≥0，f（x）單調(diào)遞增，
所以f_min（x）=f（0）=1＞0，滿足題意；
當(dāng)a＞1時(shí)，令f'（x）=0，得x=lna，
當(dāng)x∈[0，lna）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（lna，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
所以當(dāng)x=lna時(shí)，f（x）取得極大值f（lna）=a-alna，根據(jù)題意，a-alna＞0，
所以1-lna＞0，lna＜1，a＜e，
∴a∈（1，e），
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-2，e）．
故答案為：（-2，e）．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，考查分類討論以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．