Question

2．對(duì)任意的正整數(shù)n，以及任意n個(gè)互不相同的正整數(shù)a₁，a₂，…，a_n，若不等式${（{\frac{1}{a_1}}）^λ}+{（{\frac{1}{a_2}}）^λ}+…+{（{\frac{1}{a_n}}）^λ}＜2$恒成立，求整數(shù)λ的最小值．

Answer 1

分析 由$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{25}{12}$＞2，討論若λ≤1，則有$（\frac{1}{1}）^{λ}+（\frac{1}{2}）^{λ}+（\frac{1}{3}）^{λ}+（\frac{1}{4}）^{λ}$≥1$+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$＞2，與題意不符；可得λ＞1；當(dāng)λ≥2時(shí)，由a₁，a₂，…，a_n為n個(gè)互不相同的正整數(shù)值，可得$（\frac{1}{{a}_{1}}）^{λ}+（\frac{1}{{a}_{2}}）^{λ}+…+（\frac{1}{{a}_{n}}）^{λ}$≤$（\frac{1}{1}）^{λ}+（\frac{1}{2}）^{λ}+（\frac{1}{3}）^{λ}+…+（\frac{1}{n}）^{λ}$≤$（\frac{1}{1}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{1}{3}）^{2}+…+（\frac{1}{n}）^{2}$，利用裂項(xiàng)相消法可得$（\frac{1}{{a}_{1}}）^{λ}+（\frac{1}{{a}_{2}}）^{λ}+…+（\frac{1}{{a}_{n}}）^{λ}$=2-$\frac{1}{n}$＜2．由此求得整數(shù)λ的最小值為2．

解答 解：∵$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{25}{12}$＞2，
∴若λ≤1，則有$（\frac{1}{1}）^{λ}+（\frac{1}{2}）^{λ}+（\frac{1}{3}）^{λ}+（\frac{1}{4}）^{λ}$≥1$+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$＞2，與題意不符；
∴λ＞1，
當(dāng)λ≥2時(shí)，由a₁，a₂，…，a_n為n個(gè)互不相同的正整數(shù)值，
∴$（\frac{1}{{a}_{1}}）^{λ}+（\frac{1}{{a}_{2}}）^{λ}+…+（\frac{1}{{a}_{n}}）^{λ}$≤$（\frac{1}{1}）^{λ}+（\frac{1}{2}）^{λ}+（\frac{1}{3}）^{λ}+…+（\frac{1}{n}）^{λ}$≤$（\frac{1}{1}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{1}{3}）^{2}+…+（\frac{1}{n}）^{2}$
$≤1+\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+…+\frac{1}{（n-1）n}$=$1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$=2-$\frac{1}{n}$＜2．
∴當(dāng)λ≥2時(shí)，不等式${（{\frac{1}{a_1}}）^λ}+{（{\frac{1}{a_2}}）^λ}+…+{（{\frac{1}{a_n}}）^λ}＜2$對(duì)任意n個(gè)互不相同的正整數(shù)a₁，a₂，…，a_n恒成立，
∴整數(shù)λ的最小值為2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查恒成立問題，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，訓(xùn)練了利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，是中檔題．