Question

7．（1）若2x²-ax+1＞0在x∈（1，3）上恒成立，求實數a的取值集合；
（2）若2x²-ax+1＞0在a∈（1，3）上恒成立，求實數x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由2x²-ax+1＞0在x∈（1，3）上恒成立，分離參數a，利用導數判斷f（x）=$2x+\frac{1}{x}$在x∈（1，3）上的單調性，求得f（x）的取值范圍得答案；
（2）更換主元，看作關于a的一次函數，令g（a）=-xa+2x²+1，由2x²-ax+1＞0在a∈（1，3）上恒成立，得到$\left\{\begin{array}{l}{g（1）=2{x}^{2}-x+1≥0}\\{g（3）=2{x}^{2}-3x+1≥0}\end{array}\right.$，求解不等式組得答案．

解答 解：（1）若2x²-ax+1＞0在x∈（1，3）上恒成立，即ax＜2x²+1在x∈（1，3）上恒成立，
也就是$a＜2x+\frac{1}{x}$在x∈（1，3）上恒成立，
令f（x）=$2x+\frac{1}{x}$，則f′（x）=2$-\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{2{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$，
當x∈（1，3）時，f′（x）＞0，∴f（x）在（1，3）上單調遞增，即f（x）＞f（1）=3．
∴a≤3．
則實數a的取值集合為（-∞，3]；
（2）若2x²-ax+1＞0在a∈（1，3）上恒成立，即-xa+2x²+1＞0在a∈（1，3）上恒成立，
令g（a）=-xa+2x²+1，
則$\left\{\begin{array}{l}{g（1）=2{x}^{2}-x+1≥0}\\{g（3）=2{x}^{2}-3x+1≥0}\end{array}\right.$，解得x$≤\frac{1}{2}$或x≥1．
∴實數x的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{2}$]∪[1，+∞）．

點評 本題考查函數恒成立問題，考查了分離變量法及更換主元法，訓練了利用導數判斷函數的單調性，是中檔題．